點積

點積

在數學中,數量積(dot product; scalar product,也稱為點積)是接受在實數R上的兩個向量並返回一個實數值標量二元運算。它是歐幾里得空間的標準內積

兩個向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的點積定義為:

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩陣乘法並把(縱列)向量當作n×1 矩陣,點積還可以寫為:

a·b=a^T*b,這裡的a^T指示矩陣a的轉置

基本介紹

  • 中文名:數量積
  • 外文名:dot product; scalar product
  • 別名:標量積、點積、內積、向量的積
  • 運算類型:二元運算
  • 點積的三個值:u、v、u,v夾角的餘弦
  • 點積的值:u,v的點積=|u||v|cos<u,v>
  • 套用學科:線性代數
定義,廣義定義,代數定義,幾何定義,定義的等價性,點積的值,運算律,套用,

定義

點積有兩種定義方式:代數方式和幾何方式。通過在歐氏空間中引入笛卡爾坐標系,向量之間的點積既可以由向量坐標的代數運算得出,也可以通過引入兩個向量的長度角度等幾何概念來求解。

廣義定義

在一個向量空間V中,定義在
上的正定對稱雙線性形式函式即是V的數量積,而添加有一個數量積的向量空間即是內積空間

代數定義

設二維空間內有兩個向量
,定義它們的數量積(又叫內積、點積)為以下實數:
更一般地,n維向量的內積定義如下:

幾何定義

設二維空間內有兩個向量
表示向量a和b的大小,它們的夾角為
,則內積定義為以下實數:
該定義只對二維和三維空間有效。
這個運算可以簡單地理解為:在點積運算中,第一個向量投影到第二個向量上(這裡,向量的順序是不重要的,點積運算是可交換的),然後通過除以它們的標量長度來“標準化”。這樣,這個分數一定是小於等於1的,可以簡單地轉化成一個角度值。

定義的等價性

以三維空間為例子。
①幾何定義推導代數定義
,根據向量坐標的意義可知
根據點乘的分配律得
所以
注意:點乘分配律在空間內可通過幾何證明,無需藉助向量關係,因此不屬於循環推導。
點乘分配律的幾何證明:
(a+b)·c=a·c+b·c
c=0時上式是成立的;
c≠0時,(a+b)·c=|c|*Prjc(a+b)=|c|(Prjc(a)+Prjc(b))=|c|*Prjc(a)+|c|*Prjc(b)=a·c+b·c

②代數定義推導幾何定義
,它們的終點分別為
,原點為O,
夾角為
。則
在△OAB中,由余弦定理得:
利用距離公式對這個等式稍作處理,得
去括弧、合併得
注意:餘弦定理和距離公式亦無需向量知識。

點積的值

u的大小、v的大小、u,v夾角的餘弦。在u,v非零的前提下,點積如果為負,則u,v形成的角大於90度;如果為零,那么u,v垂直;如果為正,那么u,v形成的角為銳角。
點積點積
兩個單位向量的點積得到兩個向量的夾角的cos值,通過它可以知道兩個向量的相似性,利用點積可判斷一個多邊形是面向攝像機還是背向攝像機。
向量的點積與它們夾角的餘弦成正比,因此在聚光燈的效果計算中,可以根據點積來得到光照效果,如果點積越大,說明夾角越小,則物體離光照的軸線越近,光照越強。

運算律

交換律:
分配律:
結合律:
,其中m是實數。

套用

平面向量的數量積a·b是一個非常重要的概念,利用它可以很容易地證明平面幾何的許多命題,例如勾股定理、菱形的對角線相互垂直、矩形的對角線相等等。如證明:
(1)勾股定理: Rt△ABC中,∠C=90°,則|CA|2+|CB|2=|AB|2
點積
AB = CB-CA
AB2=(CB-CA)2= CB·CB-2CA·CB+CA·CA
又∵ ∠C=90°,有CA⊥CB,於是CA·CB=0
∴ AB2=AC2+BC2
(2)菱形對角線相互垂直:菱形ABCD中,點O為對角線AC、BD的交點,求證AC⊥BD。
設 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a
AC=(AB+BC),BD=(BC+CD)
AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a2cos(π-α)+a2-a2+a2cosα
又∵ cosα=-cos(π-α)
AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0
點積
∴AC⊥BD
在生產生活中,點積同樣套用廣泛。利用點積可判斷一個多邊形是否面向攝像機還是背向攝像機。向量的點積與它們夾角的餘弦成正比,因此在聚光燈的效果計算中,可以根據點積來得到光照效果,如果點積越大,說明夾角越小,則物理離光照的軸線越近,光照越強。物理中,點積可以用來計算合力和功。若b為單位矢量,則點積即為a在方向b的投影,即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。計算機圖形學常用來進行方向性判斷,如兩矢量點積大於0,則它們的方向朝向相近;如果小於0,則方向相反。矢量內積是人工智慧領域中的神經網路技術的數學基礎之一,此方法還被用於動畫渲染(Animation-Rendering)。
線性變換中點積的意義:
根據點積的代數公式:a·b=a1b1+a2b2+……+anbn,假設a為給定權重向量,b為特徵向量,則a·b其實為一種線性組合,函式F(a·b)則可以構建一個基於a·b+c = 0 (c為偏移)的某一超平面的線性分類器,F是個簡單函式,會將超過一定閾值的值對應到第一類,其它的值對應到第二類。

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