標量場

標量場是指一個僅用其大小就可以完整表征的場。一個標量場u 可以用一個標量函式u(x,y,z)來表示。標量場分為實標量場和復標量場，其中實標量場是最簡單的場，它只有一個實標量，而復標量是一個複數的場，它有兩個獨立的場量，這相當於場量有兩個分量。最常用的標量場有溫度場，電勢場，密度場，濃度場等等。在標量場中，需要注意的是等值面、方嚮導數、梯度這幾個量。

基本介紹

• 中文名：標量場
• 外文名：Scalar Field
• 別名：數量場
• 類型：分布狀態
• 定義域：（-∞，+∞）
• 分類：實標量場、復標量場

定義

當研究物理系統中溫度、壓力、密度等在一定空間內的分布狀態時，數學上只需用一個代數量來描繪，這些代數量（即標量函式）所定出的場就稱為數量場，也稱標量場。最常用的標量場有溫度場，電勢場，密度場，濃度場等等。

標量場的等值面

定義

一個標量場 可以用一個標量函式來表示。在直角坐標系中，可將 表示為 。

令 ，其中 是任意常數，則該式在幾何上表示一個曲面，在這個曲面上的各點，雖然坐標 不同，但函式值相等，稱此曲面為標量場 的等值面。隨著 的取值不同，得到一系列不同的等值面。同理，對於由二維函式 所給定的平面標量場，可按 得到一系列不同值的等值線。

作用

標量場的等值面或等值線，可以直觀地幫助我們了解標量場在空間中的分布情況。例如，根據地形圖上等高線及其所標出的高度，我們就能了解到該地區的高低情況，根據等高線分布的疏密程度可以判斷該地區各個方向上地勢的陡度。

標量場的方嚮導數

定義

設為標量場中的一點，從出發引出一條射線，在上點附鄰取一點，記線段，如果當時，的極限存在，則稱它為函式在點處沿方向的方嚮導數，記作：

由此定義可知，方嚮導數是函式在一點處沿某一方向對距離的變化率，故當時，沿方向是增加的；當時，沿方向是減少的。

方嚮導數的計算

在直角坐標系中，設函式在處可微，則有：

在上式中，當時，有。

將上式兩邊同除以並取極限得到方嚮導數的計算公式：

在上式中，為方向的方向餘弦。

標量場的梯度

定義

方嚮導數為我們解決了函式在給定點處沿著某個方向的變化率問題。然而從場中的給定點出發，標量場在不同方向上的變化率一般來說是不同的，那么，可以構想，必定在某個方向上變化率為最大。為此，我們定義一個矢量，其方向就是函式在點處變化率為最大的方向，其大小就是這個最大變化率的值，這個矢量稱為函式在點處的梯度，記為：

運算元與標量函式相乘為一矢量函式。在直角坐標系中，梯度又可以表示為：

另外，以後還會經常用到標量拉普拉斯運算元，即：。在直角坐標系中標量函式的拉普拉斯表達式為：。

標量函式在圓柱坐標系中的梯度和拉普拉斯表達式分別為：

標量函式在球坐標系中的梯度和拉普拉斯表達式分別為：

性質

（1）方嚮導數等於梯度在該方向上的投影，即；

（2）標量場中每一點處的梯度，垂直於過該點的等值面，且指向函式增大的方向。也就是說，梯度就是該等值面的法向矢量。

（3），這個式子表明：如果有一個矢量場滿足，即是一個無旋場，則矢量場可以用一個標量函式的梯度表示，即，該標量函式稱為勢函式，對應的矢量場稱為有勢場。如靜電場中的電場強度就可以用一個標量函式的梯度來表示。

標量場和矢量場

在一定的單位制下，用一個實數就足以表示的物理量是標量，如時間、質量、溫度等；在這裡，實數表示的是這些物理量的大小。

和標量不同，矢量是除了要指明其大小還要指明其方向的物理量，如速度、力、電場強度等；矢量的嚴格定義是建立在坐標系的旋轉變換基礎上的。常見的矢量場包括Maxwell場、重矢量場。