全序關係

在數學中，集合 X 上的全序關係（Total order），簡稱全序、又名線性序（linear order）、簡單序（simple order），或（非嚴格）排序（(non-strict) ordering），是在 X 上的反對稱的、傳遞的和完全的任何二元關係。

基本介紹

• 中文名：全序關係
• 簡稱：全序
• 又稱：線性序、簡單序
• 性質：集合
• 學科：數學

定義

設集合X上有一全序關係，如果我們把這種關係用 ≤ 表述，則下列陳述對於 X 中的所有 a, b 和 c 成立：

• 如果 a ≤ b 且 b ≤ a 則 a = b (反對稱性)
  
• 如果 a ≤ b 且 b ≤ c 則 a ≤ c (傳遞性)
  
• a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)
  

配對了在其上相關的全序的集合叫做全序集合（totally ordered set）、線序集合（linearly ordered set）、簡單序集合（simply ordered set）或鏈（chain）。鏈還常用來描述某個偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。

關係的完全性可以如下這樣描述：對於集合中的任何一對元素，在這個關係下都是相互可比較的。

注意完全性條件蘊涵了自反性，也就是說，a ≤ a。因此全序也是偏序（自反的、反對稱的和傳遞的二元關係）。全序也可以定義為“全部”的偏序，就是滿足“完全性”條件的偏序。

可作為選擇的，可以定義全序集合為特殊種類的格，它對於集合中的所有 a, b 有如下性質：

我們規定 a ≤ b 若且唯若。可以證明全序集合是分配格。

全序集合形成了偏序集合的範疇的全子範疇，通過是關於這些次序的映射的態射，比如，映射 f 使得"如果 a ≤ b 則 f(a) ≤ f(b)"。

在兩個全序集合間的關於兩個次序的雙射是在這個範疇內的同構。

嚴格全序

對於每個(非嚴格)全序 ≤ 都有一個相關聯的非對稱(因此反自反)的叫做嚴格全序的關係 <，它可以等價地以兩種方式定義：

• a < b 若且唯若 a ≤ b 且 a ≠ b
  
• a < b 若且唯若 ¬(b ≤ a) (就是說 > 是 ≤ 的補關係的逆關係)
  

性質：

• 關係是傳遞的： a < b 且 b < c 蘊涵 a < c。
  
• 關係是三分的： a < b, b < a 和 a = b 中有且只有一個是真的。
  
• 關係是嚴格弱序，這裡關聯的等價是等同性。
  

我們可以其他方式工作，選擇 < 為三分的二元關係；則全序 ≤ 可等價地以兩種方式來定義:

• a ≤ b 若且唯若 a < b 或 a = b
  
• a ≤ b 若且唯若 ¬(b < a)
  

還有兩個關聯的次序是補關係 ≥ 和 >，它們構成了四元組 {<, >, ≤, ≥}。

我們可以通過這四個關係中的任何一個，定義或解釋集合全序的方式；由符號易知所談論的是非嚴格的，抑或是嚴格全序。

全序關係與偏序關係

偏序和全序是公里集合論中的概念。首先需要知道什麼是二元關係。比如實數中的“大小”關係，集合的集合中的“包含”關係就是兩種二元關係。所謂偏序，即偏序關係，是一種二元關係。所謂全序，即全序關係，自然也是一種二元關係。全序是指，集合中的任兩個元素之間都可以比較的關係。比如實數中的任兩個數都可以比較大小，那么“大小”就是實數集的一個全序關係。偏序是指，集合中只有部分元素之間可以比較的關係。比如複數集中並不是所有的數都可以比較大小，那么“大小”就是複數集的一個偏序關係。顯然，全序關係必是偏序關係。反之不成立。

例子

• 字母表的字母按標準字典次序排序，比如 A < B < C 等等。
  
• 把一個全序限制到其全序集合的一個子集上。
  
• 所有的兩個元素都是可比較的任何偏序集合 X (就是說，如果 a,b 是 X 的成員，則 a≤b 或 b≤a 中的一個為真或二者都為真)。
  
• 由基數或序數(實際上是良序)組成的任何集合。
  
• 如果 X 是任何集合，而 f 是從 X 到一個全序集合的單射函式，則 f 誘導出 X 上的一個全序：規定 x₁ < x₂ 若且唯若 f(x₁) < f(x₂)。
  
• 設有某個集族，其成員都是用序數為索引的全序集合，然後把這集族上取的笛卡爾積中的有序對按字典序排序，那麽，這字典序是一全序。例如，若有一個集合由一些詞語組成，按字母表把詞語排序的話會是一全序。舉個實例，我們規定"bird"先於"cat"。這可視為是向字母表加入空格符號""（定義""先於所有字母），得到集合A，然後對其自身取可數次笛卡爾積，得到A^ω。"bird"可理解為A^ω里的序對("b","i","r","d","","",...)，"cat"則是("c","a","t","","","",...)。從而{"bird","cat"}成為A^ω的一個子集，把A^ω上的字典序限制到這字集，便得出"bird"<"cat"。
  
• 實數集和自然數集、整數集、有理數集（作為實數集的子集），用平常的小於(<)或大於(>)關係排序都是（嚴格）全序的。它們都可以被證明是帶有特定性質的全序集合的唯一的（在同構意義下的）最小實例（一個全序 A 被稱為是帶有特定性質的最小全序，即意味著只要別的全序 B 有這個性質，就有從 A 到 B 的子集的一個序同構)：
  
• 自然數集是最小的沒有上界的全序集合。
  
• 整數集是最小的沒有上界也沒有下界的全序集合。
  
• 有理數集是最小的在實數集內稠密的全序集合，這裡的稠密性是指對於任意實數a, b，都存在有理數q使得a<q<b。
  
• 實數集是最小的無界連通（序拓撲的意義下）的全序集合。