內插法

又稱插值法。根據未知函式f(x)在某區間內若干點的函式值，作出在該若干點的函式值與f(x)值相等的特定函式來近似原函式f(x)，進而可用此特定函式算出該區間內其他各點的原函式f(x)的近似值，這種方法，稱為內插法。按特定函式的性質分，有線性內插、非線性內插等；按引數(自變數)個數分，有單內插、雙內插和三內插等。我國古代早就發明了內插法，當時稱為招差術，如公元前1世紀左右的《九章算術》中的“盈不足術”即相當於一次差內插(線性內插)；隋朝作《皇極曆》的劉焯發明了二次差內插(拋物線內插)；唐朝作《太衍歷》的僧一行又發明了不等間距的二次差內插法；元朝作《授時曆》的郭守敬進一步發明了三次差內插法。在劉焯1000年後，郭守敬400年後，英國牛頓才提出內插法的一般公式。

基本介紹

• 中文名：內插法
• 別稱：插值法
• 別名：直線插入法
• 特例：白塞爾內插法
• 別稱：試差法

概念

內插法，一般是指數學上的直線內插，利用等比關係，是用一組已知的未知函式的自變數的值和與它對應的函式值來求一種未知函式其它值的近似計算方法，是一種求未知函式，數值逼近求法，天文學上和農曆計算中經常用的是白塞爾內插法，可參考《中國天文年曆》的附錄。另外還有其他非線性內插法：如二次拋物線法和三次拋物線法。因為是用別的線代替原線，所以存在誤差。可以根據計算結果比較誤差值，如果誤差在可以接受的範圍內，才可以用相應的曲線代替。一般查表法用直線內插法計算。

內插法

原理

數學內插法即“直線插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)為兩點，則點P（i,b)在上述兩點確定的直線上。而工程上常用的為i在i1,i2之間，從而P在點A、B之間，故稱“直線內插法”。

數學內插法說明點P反映的變數遵循直線AB反映的線性關係。

上述公式易得。A、B、P三點共線，則

(b-b1)/(i-i1)=（b2-b1)/(i2-i1)=直線斜率，變換即得所求。

具體方法

綜述

求得滿足以下函式的兩個點，假設函式為線性函式，通過簡單的比例式求出租賃利率。以每期租金先付為例，函式如下：

公式

A表示租賃開始日租賃資產的公平價值； R表示每期租金數額；

S表示租賃資產估計殘值；

n表示租期；

r表示折現率。

通過簡單的試錯，找出二個滿足上函式的點（a1，b1）（a2，b2），然後，利用對函式線性的假設，通過以下比例式求出租賃利率

二次拋物線內插法

設二次拋物線關係式：y = f(x)，要計算在x = x0點的函式。已知f(x1)、f(x2）和f(x3)，其中x1 < x2 < x3，x1 < x0 < x3，則在x0點的函式值：f(x0)= f(x1)*(x2-x0 ) *( x3- x0) / ((x3 - x1) *(x2 - x1) )+f(x2) *( x1- x0)*( x3- x0) / ((x3 - x2) *(x1 - x2) ) +f(x3)*(x2-x0 ) *( x1- x0) / ((x1 -x3 ) *( x2- x3) )。顯然本式也適合外插計算。

線性關係和三次以上拋物線可仿上式，很容易得出。

計算

綜述

內插法在財務管理中套用很廣泛，如在貨幣時間價值的計算中，求利率i，求年限n;在債券估價中，求債券的到期收益率；在項目投資決策指標中，求內含報酬率。中級和CPA教材中都沒有給出內插法的原理，很多同學都不太理解是怎么一回事。下面結合實例來講講內插法在財務管理中的套用。

在內含報酬率中的計算

內插法在內含報酬率的計算中套用較多。內含報酬率是使投資項目的淨現值等於零時的折現率，通過內含報酬率的計算，可以判斷該項目是否可行，如果計算出來的內含報酬率高於必要報酬率，則方案可行；如果計算出來的內含報酬率小於必要報酬率，則方案不可行。一般情況下，內含報酬率的計算都會涉及到內插法的計算。不過一般要分成這樣兩種情況： 1.如果某一個投資項目是在投資起點一次投入，經營期內各年現金流量相等，而且是後付年金的情況下，可以先按照年金法確定出內含報酬率的估計值範圍，再利用內插法確定內含報酬率

內插法

2.如果上述條件不能同時滿足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通過多次試誤求出內含報酬率的估值範圍，再採用內插法確定內含報酬率。

下面舉個簡單的例子進行說明：

某公司現有一投資方案，資料如下：

初始投資一次投入4000萬元，經營期三年，最低報酬率為10%，經營期現金淨流量有如下兩種情況：（1）每年的現金淨流量一致，都是1600萬元；（2）每年的現金淨流量不一致，第一年為1200萬元，第二年為1600萬元，第三年為2400萬元。

問在這兩種情況下，各自的內含報酬率並判斷兩方案是否可行。

根據（1）的情況，知道投資額在初始點一次投入，且每年的現金流量相等，都等於1600萬元，所以應該直接按照年金法計算，則

NPV=1600×(P/A，I，3)－4000

由於內含報酬率是使投資項目淨現值等於零時的折現率，

所以　令NPV=0

則：1600×(P/A，I，3)－4000=0

(P/A，I，3)=4000÷1600=2.5

查年金現值係數表，確定2.5介於2.5313(對應的折現率i為9%)和2.4689(對應的折現率I為10%)，可見內含報酬率介於9%和10%之間，根據上述插值法的原理，可設內含報酬率為I,

則根據原公式：

(i2-i1)/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1).

i2 =10%，i1=9%，則這裡β表示係數，β2=2.4689，β1=2.5313，

內插法

而根據上面的計算得到β等於2.5，所以可以列出如下式子：

（10%-9%）/（I-9%）=（2.4689-2.5313）/（2.5-2.5313），解出I等於9.5%，因為企業的最低報酬率為10%，內含報酬率小於10%，所以該方案不可行

根據（2）的情況，不能直接用年金法計算，而是要通過試誤來計算。 這種方法首先應設定一個折現率i1，再按該折現率將項目計算期的現金流量折為現值，計算出淨現值NPV1；如果NPV1>0，說明設定的折現率i1小於該項目的內含報酬率，此時應提高折現率為i2，並按i2重新計算該投資項目淨現值NPV2；如果NPV1<0，說明設定的折現率i1大於該項目的內含報酬率，此時應降低折現率為i2，並按i2重新將項目計算期的現金流量折算為現值，計算淨現值NPV2。

經過上述過程，如果此時NPV2與NPV1的計算結果相反，即出現淨現值一正一負的情況，試誤過程即告完成，因為零介於正負之間(能夠使投資項目淨現值等於零時的折現率才是財務內部收益率)，此時可以用插值法計算了；但如果此時NPV2與NPV1的計算結果符號相同，即沒有出現淨現值一正一負的情況，就繼續重複進行試誤工作，直至出現淨現值一正一負。本題目先假定內含報酬率為10%，則：

NPV1=1200×0.9091+1600×0.8264+2400×0.7513-4000=216.8萬

因為NPV1大於0，所以提高折現率再試，設I=12%, NPV2=1200×0.8929+1600×0.7972+2400×0.7118-4000=55.32萬

仍舊大於0，則提高折現率I=14%再試，NPV3=1200×0.8772 +16000×0.7695+2400×0.6750-4000=-96.19萬

現在NPV2 >0，而 NPV3<0（注意這裡要選用離得最近的兩組數據），所以按照內插法計算內含報酬率，設i2 =14%，i1=12%，則 β2=-96.19，β1=55.32，β=0根據

（i2-i1）/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1)

有這樣的方程式：（14%-12%）/（i-12%）=（-96.19-55.32）/（0-55.329）

解得I=12.73%，因為大於必要報酬率，所以該方案可以選擇。

在差額內含報酬率計算

在進行多個項目投資方案的比較時，如果各個方案的投資額不相等或項目經營期不同，可以用差額內含報酬率法進行選擇。差額內含報酬率法，是指在原始投資額不同的兩個方案的差額淨現金流量△NCF的基礎上，計算差額內含報酬率△IRR，並根據結果選擇投資項目的方法。當差額內含報酬率指標大於基準收益率或必要報酬率時，原始投資額大的方案較優；反之，應該選擇原始投資額小的方案（注意這裡的差額都是用原始投資數額較大的方案減去原始投資小的方案）。

內插法

初始差額投資

舉例

某公司現有兩個投資項目，其中

A項目初始投資為20000，經營期現金流入分別為：第一年11800，第二年13240，第三年沒有流入；

B項目初始投資為9000，經營期現金流入分別為：第一年1200，第二年6000，第三年6000；

該公司的必要報酬率是10%，如果項目A和B是不相容的，則應該選擇哪個方案？

根據本題目，初始差額投資為：

△NCF0=20000-9000=11000萬

各年現金流量的差額為：

△NCF1=11800-1200=10600萬

△NCF2=13240-6000=7240萬

△NCF3=0-6000=－6000萬

首先用10%進行測試，則NPV1=10600×0.9091+7240×0.8264+（-6000）×0.7513-11000=117.796萬

因為NPV1>0，所以提高折現率再試，設I=12%,則有NPV2=10600×0.8929+7240×0.7972+（-6000）×0.7118-11000=-34.33萬

現在NPV1>0，而NPV2<0（注意這裡要選用離得最近的兩組數據），所以按照內插法計算內含報酬率。

設i2 =12%，i1=10%，則 β2=－34.33，β1=117.796，β=0，則根據（i2-i1）/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1)，有這樣的方程式：

（12%-10%）/（I-10%）=（-34.33-117.796）/（0-117.796），解得I=10.52%，因為大於必要報酬率，所以應該選擇原始投資額大的A方案。

在債券到期收益率計算

除了將插值法用於內含報酬率的計算外，在計算債券的到期收益率時也經常用到。如果是平價發行的每年付息一次的債券，那么其到期收益率等於票面利率，如果債券的價格高於面值或者低於面值，每年付息一次時，其到期收益率就不等於票面利率了，具體等於多少，就要根據上述試誤法，一步一步測試，計算每年利息×年金現值係數+面值×複利現值係數的結果，如果選擇的折現率使得計算結果大於發行價格，則需要進一步提高折現率，如果低於發行價格，則需要進一步降低折現率，直到一個大於發行價格，一個小於發行價格，就可以通過內插法計算出等於發行價格的到期收益率。總的來說，這種內插法比較麻煩，教材上給出了一種簡便算法： R=[I+(M-P)÷N]/[（M+P）÷2]

內插法

這裡I表示每年的利息，M表示到其歸還的本金，P表示買價，N表示年數。例如某公司用1105元購入一張面額為1000元的債券，票面利率為8%，5年期，每年付息一次，則債券的到期收益率為：

R= [80+(1000-1105)÷5]/[（1000+1105）÷2]=5.6%

可以看出，其到期收益率與票面利率8%不同，不過這種簡便做法在考試時沒有作出要求，相比較而言，對於基本的內插法，大家一定要理解並學會運用。