拋物線法

拋物線法(parabolic approximate method)又稱二次插值法。用二次插值函式逼近未知函式而求解問題的方法。在結構最佳化方面系利用搜尋 區間內三個點的坐標和函式值構造二次函式來逐步逼近原一元函式，使搜尋區間逐步縮小並進而找到近似極小點的一維搜尋方法。也是一種常用的方法。設搜尋區間兩端點為a和b，其間有一點c， 相應的函式值分別為φd、φb和φc， 用它們構造一 個二次函式並解析地求得其極小點d，算得d點的函式值φd後， 可根據c、d的相對位置和φc與φd的大小確定留下具有搜尋區間應有性質的區間， 重複這個過程，使所留區間充分小，從而求得原一元函式的近似極小點。

基本介紹

• 中文名：拋物線法
• 外文名：parabolic method
• 別名：米勒法、二次插值法
• 所屬領域：計算數學(非線性方程數值解法)

基本介紹

設方程 的3個近似根為 ，我們以這三點為節點構造二次插值多項式 ，並適當選取 的1個零點 作為新的近似根，這樣確定的疊代過程稱為拋物線法，也稱為密勒(Miller)法。

幾何意義

在幾何圖形上，這種方法的基本思想是用拋物線 與x軸的交點 作為所求根 的新近似根（圖1）。

圖1

計算公式推導

現在推導拋物線法的計算公式，用方程 的近似根 作插值多項式

則 有兩個零點

式中

為了從式(1)定出1個值 ，我們需要討論根式前正負號的取捨問題。

在 3個近似根中，自然假定 更接近所求的根 ，這時，為了保證精度，我們選式(1)中較接近 的1個值作為新的近似根 。為此，只要取根式前的符號與 的符號相同即可。

拋物線法的收斂定理

關於拋物線法有如下收斂定理。

定理1 設為方程的單重根，的三階導數在根的鄰域裡連續，則存在的一個適當小的鄰域當時，由拋物線法產生的序列收斂於，且有

例題解析

用拋物線法求解方程 。

解： 設 選取方程 的3個近似根 作為初始值，計算得

故

從而由式(1)可得