基本介紹
- 中文名：插值法
- 外文名：interpolation
- 類別：數學
- 別名：內插法
- 分類：Lagrange插值等
- 套用：水質模型等
定義,Lagrange插值,Newton插值,Hermite插值,分段插值,樣條插值,
定義
插入法的拉丁文原意是“內部插入”，即在已知的函式表中，插入一些表中沒有列出的、所需要的中間值。
若函式f(x)在自變數x一些離散值所對應的函式值為已知，則可以作一個適當的特定函式p(x)，使得p(x)在這些離散值所取的函式值，就是f(x)的已知值。從而可以用p(x)來估計f(x)在這些離散值之間的自變數所對應的函式值，這種方法稱為插值法。
如果只需要求出某一個x所對應的函式值，可以用“圖解內插”。它利用實驗數據提供要畫的簡單曲線的形狀，然後調整它，使得儘量靠近這些點。
如果還要求出因變數p(x)的表達式，這就要用“表格內插”。通常把近似函式p(x)取為多項式(p(x)稱為插值多項式)，最簡單的是取p(x)為一次式，即線性插值法。在表格內插時，使用差分法或待定係數法(此時可以利用拉格朗日公式)。在數學、天文學中，插值法都有廣泛的套用。
Lagrange插值
Lagrange插值是n次多項式插值，其成功地用構造插值基函式的 方法解決了求n次多項式插值函式問題。
★基本思想 將待求的n次多項式插值函式pn(x）改寫成另一種表示方式，再利用插值條件⑴確定其中的待定函式，從而求出插值多項式。
Newton插值
Newton插值也是n次多項式插值，它提出另一種構造插值多項式的方法，與Lagrange插值相比，具有承襲性和易於變動節點的特點。
★基本思想 將待求的n次插值多項式Pn（x）改寫為具有承襲性的形式，然後利用插值條件⑴確定Pn（x）的待定係數，以求出所要的插值函式。
Hermite插值
Hermite插值是利用未知函式f(x)在插值節點上的函式值及導數值來構造插值多項式的，其提法為：給定n+1個互異的節點x0,x1，……,xn上的函式值和導數值求一個2n+1次多項式H2n+1(x)滿足插值條件
H2n+1(xk)=yk
H'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2，……，n ⒀
如上求出的H2n+1(x）稱為2n+1次Hermite插值函式，它與被插函式一般有更好的密合度.
★基本思想
利用Lagrange插值函式的構造方法，先設定函式形式，再利用插值條件⒀求出插值函式.
分段插值
插值多項式餘項公式說明插值節點越多，誤差越小，函式逐近越好，但後來人們發現，事實並非如此，例如：取被插函式
在[-5，5]上的n+1個等距節點：計算出f(
）後得到Lagrange插值多項式
(x)，考慮[-5,5]上的一點x=5-5/n，分別取n=2,6,10,14,18計算
(x),(x）及對應的誤差
(x），得下表
從表中可知，隨節點個數n的增加，誤差l(x)l不但沒減小，反而不斷的增大.這個例子最早是由Runge研究，後來人們把這種節點加密但誤差增大的現象稱為Runge現象.出現Runge現象的原因主要是當節點n較大時，對應的是高次插值多項式，此差得積累"淹沒"了增加節點減少的精度.Runge現象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本節的分段插值就是克服Runge現象引入的一種插值方法.
分段多項式插值的定義為
定義2: a=x0<x1<…<xn=b: 取[a,b]上n+1個節點 並給定在這些節點 上的函式值f(
)=
R=0,1，…，n
如果函式Φ（x）滿足條件
i) Φ（x）在[a,b]上連續
ii) Φ（ )= ,R =0,1，…，n
iii) Φ（x)在每個小區間[
,
]是m次多項式，
R=0,1，…，n-1則稱Φ（x）為f(x）在[a,b]上的分段m次插值多項式
實用中，常用次數不超過5的底次分段插值多項式，本節只介紹分段線性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值還額外要求分段插值函式Φ（x)
在節點上與被插值函式f(x）有相同的導數值，即
★基本思想 將被插值函式f〔x〕的插值節點 由小到大 排序，然後每對相鄰的兩個節點為端點的區間上用m 次多項式去近似f〔x〕.
例題
例1 已知f（x）=ln（x）的函式表為：
試用線性插值和拋物線插值分別計算f（3.27）的近似值並估計相應的誤差。
解：線性插值需要兩個節點，內插比外插好因為3.27
（3.2，3.3），故選
=3.2，
=3.3，由n=1的lagrange插值公式，有
所以有，為保證內插對拋物線插值，選取三個節點為 =3.2, =3.3,
=3.4，由n=2的lagrange插值公式有
故有
所以線性插值計算ln3.27的誤差估計為
故拋物線插值計算ln3.27的誤差估計為：
顯然拋物線插值比線性插值精確。
樣條插值
樣條插值是一種改進的分段插值。
定義 若函式在區間〖a，b〗上給定節點a=x0<x1<；…<xn=b及其函式值yj，若函式S（x）滿足
⒈ S（xj）=yj，j=0,1,2，…，n；
插值法主要用於道路橋樑，機械設計，電子信息工程等很多工科領域的最佳化方法。
