估計量

在統計學中，估計量是基於觀測數據計算一個已知量的估計值的法則：於是估計量（estimator）、被估量（estimand）和估計值（estimate）是有區別的。

估計量用來估計未知總體的參數，它有時也被稱為估計子；一次估計是指把這個函式套用在一組已知的數據集上，求函式的結果。對於給定的參數，可以有許多不同的估計量。我們通過一些選擇標準從它們中選出較好的估計量，但是有時候很難說選擇這一個估計量比另外一個好。

基本介紹

• 中文名：估計量
• 外文名：estimator
• 釋義：用來估計總體未知參數用的統計量
• 特點：測定的具體數值
• 套用學科：統計學
• 相關術語：無偏估計量

定義

用來估計總體未知參數用的統計量。

當經測定的具體數值代入估計量時，它就是一個具體的數值，稱為估計值，英文是estimator。

設(X₁,……,X_n)為來自總體X的樣本，(X₁,……,X_n)為相應的樣本值，θ是總體分布的未知參數，θ∈Θ。

Θ表示θ的取值範圍,稱Θ為參數空間.儘管θ是未知的,但它的參數空間Θ是事先知道的.為了估計未知參數θ,我們構造一個統計量h(X₁,……,X_n)，然後用h(X₁,……,X_n)的值h(X₁,……,X_n)來估計θ的真值，稱h(X₁,……,X_n)為θ的估計量。

假設存在一個固定的待估參數。那么"估計量"是樣本空間映射到樣本估計值的一個函式。的一個估計量記為。很容易用隨機變數的代數來闡述這個理論：因而如果用X來標記對應觀測數據的隨機變數，估計量（本身視為隨機變數）的符號表示為該隨機變數的函式，。對特定觀測數據集（即對於X=x）的估計值為一固定值。通常使用簡化標記，用表示隨機變數，不過這會造成誤解。

量化特性

以下定義和屬性是相關的。

誤差

對於一個給定樣本x，估計量的"誤差"定義為

其中是待估參數。注意誤差e不僅取決於估計量（估計公式或過程），還取決於樣本。

均方誤差

估計量的均方誤差被定義為誤差的平方的期望值，即為：

它用來顯示估計值的集合與被估計單個參數的平均差異。試想下面的類比：假設“參數”是靶子的靶心，“估計量”是向靶子射箭的過程，而每一支箭則是“估計值”（樣本）。那么，高均方誤差就意味著每一支箭離靶心的平均距離較大，低均方誤差則意味著每一支箭離靶心的平均距離較小。箭支可能集聚，也可能不。比如說，即使所有箭支都射中了同一個點，同時卻嚴重偏離了靶子，均方誤差相對來說依然很大。然而要注意的是，如果均方誤差相對較小，箭支則更有可能集聚（而不是離散）。

一致性

一致估計量序列是一列隨著序號（通常是樣本容量）無限增大時依機率收斂於被估量的估計量序列。換句話說，增加樣本容量增大了估計量接近總體參數的機率。

在數學上，一個估計量序列{t_n;n≥ 0}是參數θ的一致估計量若且唯若對於所有ϵ> 0，不管多小，我們都有

就如，一個人不斷地拋硬幣，隨著次數的增多，任何一面出現的機率（機率）就會趨於0.5。那么這個0.5就是這個拋硬幣事件中任何一面出現機率的一致估計量，或者說一致估計值。