統計估計

統計估計(statistical estimation)是統計推斷的一種形式，統計估計的方法是用樣本的函式來估計總體的分布函式、分布參數或數字特徵。例如，用樣本均值估計總體均值；用經驗分布函式估計總體分布函式等，參數估計與非參數估計是統計估計的兩大部分。

基本介紹

• 中文名：統計估計
• 外文名：statistical estimation
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：統計學
• 相關概念：參數估計、點估計、區間估計等

基本介紹

統計估計是指推斷統計中用樣本資料去估計總體參數的方法。有點估計與區間估計兩種。

數理統計包括統計描述和統計推斷兩部分，統計推斷就是由樣本推斷總體，是統計學的核心內容，統計推斷內容非常豐富，大致可以歸納為兩大類：統計估計和統計檢驗。統計估計分為參數估計和非參數估計、點估計和區間估計，下面只涉及參數的點估計和區間估計，參數的點估計，指用樣本統計量的值估計未知參數的值。參數的區間估計就是用樣本來確定一個區間，使這個區間以很大的機率包含所估計的未知參數，這樣的區間稱為置信區間。

點估計

點估計是直接估計總體參數的值，通常用樣本數據的一個統計量作為總體參數的估計量。例如，在估計一個正態總體的平均數時，把樣本數據的平均數取作總體平均數的估計量。點估計時，要求樣本統計量是無偏統計量，即要求在無數次重複抽樣時，這種樣本統計量產生的分布的平均數等於被估計的參數。還要求這個樣本分布的方差比其他無偏估計量的方差要小。

若總體X的分布函式 的類型已知，其中的參數 是未知的，這時可以在總體X中抽取樣本 ，根據待估參數的特徵構造出適當的統計量 作為參數 的估計量；然後由抽取的樣本觀察值 ，計算得到估計量的觀察值 ，就是未知參數 的估計值(i=1，2，…，m)，這種做法稱為參數的點估計，常用的點估計方法有矩估計和最大似然估計，對估計量優劣的評價標準有無偏性、有效性和一致性(相合性)等。

矩估計法

矩估計法的基本思想是：用樣本矩估計總體矩，用樣本矩的函式去估計總體矩的相應的函式，從而達到對總體參數進行估計的目的。

總體X分布的參數 往往通過總體矩(數字特徵)反映出來，因此若用樣本矩來替換總體矩，用樣本矩的函式替換相應的總體矩的函式，則可獲得總體參數 的估計量，這種估計方法稱為矩估計法。

最大似然估計

最大似然估計又稱極大似然估計，它的基本思想是在給定樣本觀察值 之下，給出參數 的估計值 ，使得在 之下，樣本 出現的可能性最大．

估計量的概念及評價標準

用來估計未知參數 的真值的統計量 稱為 的估計量，如用 作為總體期望 的估計量，用 作總體方差 的估計量等等，但也可用 估計 用 估計 等，也就是說估計量不唯一，因而存在對估計量的評價問題，評價標準主要有三條：

(1)無偏性 即

(2) 有效性(最小方差性) 若 和 都是 的無偏估計量，如果 則稱 比 有效。若在 的一切無偏估計中， 的方差最小,稱 為 的最小方差無偏估計量；

(3)一致性(相合性) 設是的估計量，若依機率收斂於，即對任意，有則稱是的一致估計量>常用估計量都滿足一致性,所以我們在評價估計量時，往往只驗證其無偏性與其比較有效性。

區間估計

區間估計是構造 一個區間，推斷參數的真值以某個機率落在這個區間內。這個機率稱為“區間的置信水平”。這個區間，稱為“置信區間”。例如已知一個常態分配，它的平均數為μ，方差為α²。反覆抽取數據個數為n的樣本直至無數次，由中心極限定理可知，這些樣本的平均數x形成一個以總體平均數μ為平均數。方差為α²/n的常態分配。根據常態分配性質，對任意 一個樣本的平均數x，可有 的機率。 這個關係完全等價於 的機率。 總體平均數是未知的，x的值可以從我們抽取的某個樣本中求出，則從上式推斷總體平均數μ將在0.95的機率水平上落在區間 內， 這就是總體平均數的置信區間。在這區間的上下限中，總體的方差α²一般也是未知的，我們仍要用樣本資料對它進行點估計，並在實際構造置信區間時，不一定用常態分配而用t分布等其他分布，使得推斷更為可靠。