三角函式公式

三角函式是數學中屬於初等函式中的超越函式的函式。它們的本質是任何角的集合與一個比值的集合的變數之間的映射。通常的三角函式是在平面直角坐標系中定義的。其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到複數系。

三角函式公式看似很多、很複雜，但只要掌握了三角函式的本質及內部規律，就會發現三角函式各個公式之間有強大的聯繫。而掌握三角函式的內部規律及本質也是學好三角函式的關鍵所在。

基本介紹

• 中文名：三角函式公式
• 外文名：Formulas of trigonometric functions
• 套用學科：數學、物理、地理、天文地理等
• 適用領域範圍：幾何，代數變換，數學、物理、地理、天文等

定義式

	銳角三角函式	任意角三角函式
圖形	直角三角形	任意角三角函式
正弦（sin）
餘弦（cos）
正切（tan或tg）
餘切（cot或ctg）
正割（sec）
餘割（csc）

表格參考資料來源：現代漢語詞典．

函式關係

倒數關係：① ；② ；③

商數關係：① ；② ．

平方關係：① ② ；③

誘導公式

公式一：設 為任意角，終邊相同的角的同一三角函式的值相等：

公式二：設 為任意角， 與 的三角函式值之間的關係：

公式三：任意角 與 的三角函式值之間的關係：

公式四： 與 的三角函式值之間的關係：

公式五： 與 的三角函式值之間的關係：

公式六： 及 與 的三角函式值之間的關係：

記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限．即形如（2k+1）90°±α，則函式名稱變為余名函式，正弦變餘弦，餘弦變正弦，正切變餘切，餘切變正切。形如2k×90°±α，則函式名稱不變。

誘導公式口訣“奇變偶不變，符號看象限”意義：

k×π/2±a(k∈z)的三角函式值．(1)當k為偶數時，等於α的同名三角函式值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函式值的符號；
(2)當k為奇數時，等於α的異名三角函式值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函式值的符號。

記憶方法一：奇變偶不變，符號看象限：

記憶方法二：無論α是多大的角，都將α看成銳角．

以誘導公式二為例：

若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π+α是第三象限的角（終邊在第三象限），正弦函式的函式值在第三象限是負值，餘弦函式的函式值在第三象限是負值，正切函式的函式值在第三象限是正值．這樣，就得到了誘導公式二．
以誘導公式四為例：
若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π-α是第二象限的角（終邊在第二象限），正弦函式的三角函式值在第二象限是正值，餘弦函式的三角函式值在第二象限是負值，正切函式的三角函式值在第二象限是負值．這樣，就得到了誘導公式四．

誘導公式的套用：

運用誘導公式轉化三角函式的一般步驟：
特別提醒：三角函式化簡與求值時需要的知識儲備：①熟記特殊角的三角函式值；②注意誘導公式的靈活運用；③三角函式化簡的要求是項數要最少，次數要最低，函式名最少，分母能最簡，易求值最好。

基本公式

和差角公式

二角和差公式

證明如圖：負號的情況只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推導只需把角α對邊設為1，過程與tan(α+β)相同．

三角和公式

和差化積公式

口訣：正加正，正在前，余加余，余並肩，正減正，余在前，余減余，負正弦．

積化和差公式

倍角公式

二倍角公式

三倍角公式

證明：

sin3a

=sin(a+2a)

=sin2a·cosa+cos2a·sina

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a

=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina×2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]×2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a

=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)

=4cosa×2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]×{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得：

tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)

四倍角公式

sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sin²a-1)]

cos4a=8cos⁴a-8cos²a+1

tan4a=(4tana-4tan³a)/(1-6tan²a+tan⁴a)

五倍角公式

n倍角公式

套用歐拉公式： .

上式用於求n倍角的三角函式時，可變形為：

所以

其中，Re表示取實數部分，Im表示取虛數部分．而

所以

半角公式

（正負由 所在的象限決定）

萬能公式

輔助角公式

證明：

由於 ，顯然 ，且

故有：

其它公式

正弦定理

餘弦定理

詳見詞條：正弦定理

在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R．則有：

正弦定理變形可得：

餘弦定理

詳見詞條：餘弦定理

對於如圖所示的邊長為a、b、c而相應角為α、β、γ的△ABC，有：

也可表示為：

降冪公式

sin²α=[1-cos(2α)]/2

cos²α=[1+cos(2α)]/2

tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

冪級數

c₀+c₁x+c₂x²+...+c_nxⁿ+...=∑c_nxⁿ (n=0..∞)

c₀+c₁(x-a)+c₂(x-a)²+...+c_n(x-a)ⁿ+...=∑c_n(x-a)ⁿ (n=0..∞)

它們的各項都是正整數冪的冪函式, 其中c₀,c₁,c₂,...c_n...及a都是常數， 這種級數稱為冪級數。

泰勒展開式

泰勒展開式又叫冪級數展開法

實用冪級數：

e^x= 1+x+x²/2!+x³/3!+…+xⁿ/n!+…,x∈R

ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)^k-1x^k/k, x∈(-1,1)

sin x = x-x³/3!+x/5!-…+(-1)^k-1x^2k-1/(2k-1)!+…, x∈R

cos x = 1-x²/2!+x/4!-…+(-1)^kx^2k/(2k)!+…, x∈R

arcsin x = x + x³/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)…+(2k+1)!!×x^2k+1/(2k!!×(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表示雙階乘）

arccos x = π/2 -[x + x³/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)……], x∈(-1,1)

arctan x = x - x³/3 + x/5 -…, x∈(-∞,1)

sinh x = x+x³/3!+x/5!+…+x^2k-1/(2k-1)!+…, x∈R

cosh x = 1+x²/2!+x/4!+…+x^2k/(2k)!+…, x∈R

arcsinh x =x - x³/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) -(1×3×5)x/(2×4×6×7)…, x∈(-1,1)

arctanh x = x + x³/3 + x/5 + …, x∈(-1,1)

在解初等三角函式時，只需記住公式便可輕鬆作答，在競賽中，往往會用到與圖像結合的方法求三角函式值、三角函式不等式、面積等等。

萬能公式

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

傅立葉級數

傅立葉級數又稱三角級數

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx