高斯係數

高斯係數(Gaussian coefficient)是一類組合數，設X是有限域GF(q)上的n維向量空間，X的全部k維子空間的個數稱為高斯係數，高斯係數有一系列與二項式係數相仿的等式，從而，高斯係數也稱為高斯二項式係數。

基本介紹

• 中文名：高斯係數
• 外文名：Gaussian coefficient
• 所屬學科：數學（組合學）
• 別稱：高斯二項式係數
• 簡介：一類組合數

基本介紹

定義 設m，n是非負整數，n≥m>0，引進記號

如果m>0和，並把它們稱為高斯係數。

設F_q是q元有限域，q是一個素數冪，再設n和m都是非負整數，是F_q上的n維行向量空間，那么中m維子空間的個數恰好是式(1)右邊。

高斯係數的性質

高斯係數有如下簡單性質。

定理1 設m和n都是非負整數，而q≠1，

(1)

(2)如果o≤n<m，那么

(3)如果0≤m≤n，那么

定理2設m≥1，q≠1，那么

定理3 設y是未定元，而n是非負整數，那么

在定理3中令y取-1，可得下面的推論。

推論1 設n是非負整數，q≠1，那么

推論2(Goldman，Rota，1970) 若和滿足下列方程

則

這與麥比烏斯反演異曲同工。

1882年西爾維斯特(Sylvester)證明了如下有趣的結果

其中a_p是p分為最多k部分，每部分不超過n-k的劃分數。