高斯整數

高斯整數（gaussian integer）是實數部分（實部）和虛數部分（虛部）都是整數的複數。也就是複平面中點集{a+bi|a,b 都是整數}。所有高斯整數組成了一個整環，寫作Z。它是個不可以轉成有序環的歐幾里德整環，所以是唯一因子分解整環。 也就是在這個整環中，如同整數集一樣，可以存在唯一因子分解定理。

基本介紹

• 中文名：高斯整數
• 外文名：gaussian integer
• 特點：實部和虛數部分（虛部）都是整數
• 性質：所有高斯整數組成了一個整環
• 一級學科：數學
• 二級學科：初等數論

簡介

數論的一個重要分支——代數數論把整數的一些理論推廣到了一些特殊的代數整數集合。所謂代數整數就是首一（首項係數是1）整係數多項式的根。而高斯整數即是一類特殊的代數整數集合。

形如 （其中a，b是整數）的複數被稱為高斯整數，高斯整數全體記作Z[i]。注意到若 γ=a+bi 是高斯整數，則它是滿足如下方程的代數整數

由於γ 滿足首一二次整係數多項式，所以它被稱為二次無理數。反之，若 α=r+si，其中r，s是有理數，而且 α 是一個首一二次整係數多項式的跟，則 α 是高斯整數。高斯整數是以偉大的德國數學家高斯的名字命名的，他是第一位深入研究這類數性質的數學家。

性質

通常我們使用希臘字母來表示高斯整數，例如α，β，γ和δ。注意到若 n 是一個整數，則 n=n+0i 也是高斯整數。當我們討論高斯整數的時候，把通常的整數稱為有理整數。

加、減、乘運算

高斯整數在加、減、乘運算下是封閉的，正如下面定理所述。

定理1：設 α=x+iy 和 β=w+iz 是高斯整數，其中 x，y，w 和 z 是有理整數，則 α+β，α-β 和 αβ 都是高斯整數。

雖然高斯整數在加、減和乘運算下封閉，但是他們在除法運算下並不封閉，這一點與有理整數類似。此外，若 α=a+bi 是高斯整數，則 N(α)=a²+b² 是非負有理整數。

整除性

我們可以像研究有理整數那樣去研究高斯整數。整數的許多基本性質可以直接類推到高斯整數上。要討論高斯整數的這些性質，我們需要介紹高斯整數類似於通常整數的一些概念。特別地，我們需要說明一個高斯整數整除另一個高斯整數的意義，並給出高斯素數的定義。

定義1：設 α 和 β 是高斯整數，我們稱α整除β，是指存在一個高斯整數 γ 使得β=αγ。若α整除β，我們記作α|β ；若α 不整除β ，記作αβ 。

高斯整數的整除也滿足有理整數整除的一些相同的性質。例如，若α，β和γ 是高斯整數，α|β，β|γ，則α|γ。再者，若α，β，γ，ν和μ 是高斯整數，γ|μ，γ|β，則γ|(μα+νβ)。

高斯素數

1, −1, i及−i都是高斯整數環裡面的單位元。除此之外，在高斯整環裡面不能因子分解的數稱為高斯素數。高斯素數分為兩類，其中一類是形式為4n+3（n是整數）的普通素數，如3，7等，它們在高斯整環裡面也不能夠因子分解。但是所有形式是4n+1的普通素數如5，13等，在高斯整環裡面都可以唯一因子分解成兩個共軛的高斯素數的乘積，如5=(2+i)(2-i)。需要注意的是，這裡我們也可以寫成5=(1+2i)(1-2i)，這個是因為(2-i)i=1+2i，而i是單位元，所以我們可以認為這兩種分解是等價的。此外，素數2也可以分解，即2=(1+i)(1-i)。