基本介紹
- 中文名：高斯—馬爾可夫定理
- 外文名：Gauss-Markov Assumptions
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：幾何學
1.Assumption MLR.1（linear in parameters): 假設一要求所有的母集團參數（population parameters）為常數，用來保證模型為線性關係。即如果母集團方程為y=a+b1x1+b2x2+...+bkxk+u, 所有的a, b1,b2...bk必須為常數。同時u為無法檢測的誤差項，即實驗過程中模型沒有包含的因素。
2. Assumption MLR.2 (Random sampling)假設二： 假設我們有n個調查的樣本，那么這n個樣本必須是從母集團裡面隨機抽樣得出的。以假設一的方程為例，{（xi1,xi2, xi3.....xik,yi): i=1,2,3...n}
3. Assumption MLR.3 （No perfect collinearity)假設三：在樣本（母集團）中， 沒有獨立變數（independent variable）是常數，並且獨立變數之間不能有完全共線性。（根據矩陣方程的定義，方程會無解）
4. Assumption MLR.4 (Zero conditional mean)假設四： 母集團方程的誤差項的均值為 0，並且均值不受到獨立變數的影響，可以表示為：E(U/ X1, X2...Xk)=0
5.Assumption MLR.5 (Homoscedasticity): 假設五：同方差性， 誤差項u的方差不受到獨立變數的影響為一個固定不變的值，可以表示為： Var(u/X1,X2...Xk)=σ
在統計學中，高斯－馬爾可夫定理是指在誤差零均值，同方差，且互不相關的線性回歸模型中，回歸係數的最佳線性無偏估計就是最小方差估計。一般而言，任何回歸係數的線性組合之BLUE（Best Linear Unbiased Estimators）就是它的最小方差估計。在這個線性回歸模型中，其誤差不需要假定為常態分配或獨立同分布（而僅需要滿足相關和方差這兩個稍弱的條件）。
指在給定經典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量的這一定理。
高斯--馬爾可夫定理的意義在於，當經典假定成立時，我們不需要再去尋找其它無偏估計量，沒有一個會優於普通最小二乘估計量。也就是說，如果存在一個好的線性無偏估計量，這個估計量的方差最多與普通最小二乘估計量的方差一樣小，不會小於普通最小二乘估計量的方差。
