雙代數:雙代數概念,代數系統,二元運算的性質,二元運算的特異常數,群論：一種重要

抽象代數學研究的對象，是20世紀20年代在初等數學基礎上發展起來的一門學科，它在數學各領域均有套用，近年來並大量用於計算機領域。

雙代數是指一種代數系統。它既有代數結構，又有余代數結構，且兩種結構具相容性。設(B，μ，η)是R代數，且(B，Δ，ε)是R上的余代數，其中μ是B的乘法映射，η是刻畫B的單位元的映射。若Δ和ε都是R代數同態(等價於μ，η都是R余代數同態)，則(B，μ，η，Δ，ε)稱為R上的雙代數。

基本介紹

中文名：雙代數
外文名：bialgebra
領域：數學
性質：代數系統
特徵：既有代數結構，又有餘代數結構
例子：Hopf代數、群雙代數

雙代數概念,代數系統,二元運算的性質,二元運算的特異常數,群論：一種重要的代數系統,環和域,余代數,雙代數實例,群雙代數,其他例子,

雙代數概念

雙代數（bialgebra）是指一種代數系統。它既有代數結構，又有余代數結構，且兩種結構具相容性。設(B，μ，η)是R代數，且(B，Δ，ε)是R上的余代數，其中μ是B的乘法映射，η是刻畫B的單位元的映射。若Δ和ε都是R代數同態(等價於μ，η都是R余代數同態)，則(B，μ，η，Δ，ε)稱為R上的雙代數。

代數系統

抽象代數學研究的對象，是20世紀20年代在初等數學基礎上發展起來的一門學科，它在數學各領域均有套用，近年來並大量用於計算機領域。

抽象代數學是研究由非特定的任意元素組成的集合及定義在元素之間滿足若干條件或公理的代數運算所組成的系統的數學分支。設S為一非空集合， S上的n維笛卡兒積S到S的映射f：S→S稱為S上的n元運算。最常見的是一元運算S： S→S和二元運算f：S→S。如在實數集上求相反數是一元運算，實數的加法和乘法是二元運算。非空集合S和S上的k個運算f₁，f₂，…，f_k組成的系統，稱作代數系統，記做〈S，f₁，f₂，…，f_k〉。代數系統也稱作代數結構。代數系統包括半群、群、環、域和格等。下面用Z、Q、R和C分別表示整數集合、有理數集合、實數集合和複數集合。

二元運算的性質

在代數系統中常將一元運算f(a)記為*a，二元運算f(a，b)記為a*b。設·與*為非空集合S上的二元運算。①冪等律：若∀a∈S，a*a=a，則稱*滿足冪等律。 ②交換律：若∀a， b∈S， a*b=b*a，則稱*滿足交換律。 ③結合律：若∀a， b， c∈S， a*(b*c)=(a*b)*c，則稱*滿足結合律。④分配律：若∀a， b， c∈S， a·(b*c)=(a·b)*(a·c)且(b*c)·a=(b·a)* (c·a)，稱·對*滿足分配律。⑤吸收律：若·與*滿足交換律且∀a， b∈S， a*(a·b)=a， a·(a*b)=a，則稱· 與*滿足吸收律。例如，集合的並、交運算滿足冪等律、交換律、結合律，並對交和交對並滿足分配律，並與交滿足吸收律; 實數集合上的加法、乘法都滿足交換律和結合律，但不滿足冪等律。乘法對加法滿足分配律，但加法對乘法不滿足分配律，加法與乘法不滿足吸收律; 矩陣乘法滿足結合律，但不滿足交換律。

二元運算的特異常數

設*為集合S上的二元運算。①單位元：設e∈S，若∀a∈S， e*a=a*e=a，則稱e為S關於運算*的單位元。 ②零元：設θ∈S，若∀a∈S， θ*a=a*θ=θ，則稱θ為S關於運算*的零元。③逆元：設*為S上的二元運算，e為單位元，a∈S，若存在b∈S使得 b*a=a*b=e，則稱b為a關於運算*的逆元，常記作 a。此時又稱a是可逆的。例如，在實數集合上， 0是關於加法的單位元，而1是關於乘法的單位元。 0是關於乘法的零元。對任意的z，z關於加法的逆元為-z：當z≠0時，z關於乘法的逆元為1/z。

群論：一種重要的代數系統

半群：若G上的二元運算*滿足結合律，則稱代數系統〈G，*〉為半群。

獨異點：有單位元的半群。

群：每個元素都可逆的獨異點，即群是滿足下述3個條件的代數系統〈G，*〉： ①二元運算*滿足結合律， ∀a， b， c∈G， a*(b*c)=(a*b)*c; ②G有單位元e，∀a∈G， a*e=a*e=a;③G的每一個元素a 有逆元a，a*a=a*a=e。群〈G，*〉可簡記為G。例如，任一集合S的冪集P(S)關於並(交)運算構成獨異點，其中空集∅(集合S)是單位元; 設∑是一非空集合，∑*是∑中有限長字元串的全體， “”表示兩個字元串的連線，如abaobba=ababba，則〈Σ*，〉是一個獨異點，其中空串是單位元;整數集合關於加法構成一個群，稱作整數加法群，類似地還有有理數加法群、實數加法群;設n是正整數，記 Z_n={0，1，…，n-1}，Z={1，2，…，n-1}，定義模n加法⨁和模n乘法⨂如下：∀x，y∈Z_n， x⨁y= (x+y)mod n，x⨂y=xy mod n，則〈Z_n，⨁〉是群，稱作模n加法群; 〈Z，⨂〉是獨異點;當n為素數時，〈Z， ⨂〉是群，稱作模n乘法群。

子群：設〈G， *〉， HG是一非空集合，若〈H， *〉構成一個群，則稱H是G的子群。例如，有理數加法群是實數加法群的子群，整數加法群是有理數加法群的子群、也是實數加法群的子群。

有限群與無限群：只有有限個元素的群稱為有限群，否則稱為無限群。有n個元素的有限群稱作 n階群。例如，模n加法群是n階有限群，整數加法群是無限群。n階群的子群的階必是n的因子。

交換群：運算是可交換的群，又稱阿貝爾群。例如，整數加法群是交換群; 全體n階可逆矩陣關於矩陣乘法構成群，它不是交換群。在群中，a*b 常簡記作ab，n個a的運算a*a*…*a記作a，稱作 a的n次冪，規定a=e。

在群中，①滿足消去律，即若ab=ac(或ba=ca)，則b=c; ②方程ax=b和xa=b均有唯一解，它們的解分別為x=ab和x=ba。

循環群：一類最簡單且套用廣泛的群。若群G 的每一個元素都可以表示成某個元素a的冪，則稱 G是循環群，a是G的生成元，記做G=〈a〉。n階循環群可表示成{e，a，a，…，a}，無限循環群可表示成{e，a，+，a，…}。例如，整數加法群是無限循環群，有兩個生成元1和-1;模n加法群是循環群，1是一個生成元，還可能有其他的生成元。如模10加法群有4個生成元1，3，7和9。循環群都是交換群，循環群的子群都是循環群。

環和域

在非空集合S上定義兩個二元運算+和·(分別稱為“加法”和“乘法”)。若代數系統〈S，+〉是交換群，〈Z，·〉是半群，且·對+滿足分配律，即① 加法+滿足結合律和交換律，有單位元0，每一個元素都有逆元; ②乘法·滿足結合律; ③·對+滿足分配律， ∀a， b∈S， a·(b+c)=(a·b)+(a·c)， (b+c)·a= (b·a)+(c·a)，則稱代數系統〈S，+，·〉為一個環。在環中，加法的單位元0常稱為零元，a的加法逆元稱作負元，記作-a。乘法可交換的環稱作交換環。

設〈S，+，·〉是一個環。如果乘法·有單位元、是可交換的，且∀a， b∈S， a≠0且b≠0蘊涵ab≠0，則稱〈S，+，·〉是整環。如果〈S*，·〉也構成群，其中S*=S-{0}，則稱〈S，+，·〉是除環。乘法·是可交換的除環稱作域。

例如，有理數集、實數集和複數集關於加法和乘法都構成域，分別稱為有理數域、實數域、複數域。整數集關於加法和乘法構成整環。對任意的整數n≥2，〈Z_n， ⨁， ⨂〉是環；當n是素數時，〈Z_n，⨁， ⨁〉是域。