非空集合A和A上k個一元或二元運算f1，f2，…，fk組成的系統稱為一個代數系統，簡稱代數，記作(A，f1，f2，…，fk)。由定義可知，一個代數系統需要滿足下面3個條件：(1)有一個非空集合A；(2)有一些建立在集合A上的運算；(3)這些運算在集合A上是封閉的。有的書上對代數系統定義時不要求運算的封閉性，而是把具有封閉性的代數系統定義為一個新的概念-廣群。
基本介紹
- 中文名：代數系統
- 外文名：algebra system
- 所屬學科：數學
- 相關概念：運算，運算規則，集合等
- 簡介：建立在集合上的一種運算系統
基本介紹,運算,代數系統,運算規則,著名代數系統,群(group),環(ring),布爾代數(boolean algebra),
基本介紹
代數系統(algebra system)是建立在集合上的一種運算系統。它是用運算構造數學系統的一種方法，因此稱代數系統。而運算則是一種函式，因此也是一種關係。因此我們說，代數系統是用系統觀點研究運算的一種數學，它是關係研究的另一種方法。
代數系統是初等代數和高等代數的一種擴展與抽象的系統。在代數系統中有四個重要概念：運算、系統、運算規則及個體系統。下面對它們進行介紹。
運算
運算是代數系統的基本概念。在初等代數中有
等四則運算，更進一步有乘方、開方、指數、對數等運算。而將其擴展至線性代數、高等代數中有向量運算、矩陣運算及行列式運算等。在這裡我們將運算作更為抽象的擴充，使運算不僅包含前面的所有運算，而且還具有更普遍的含義。
我們說：運算是建立在集合S上的n元函式。它可以表示為
。這個
稱為n元運算。當
時稱為一元運算，當
時稱為二元運算，而當
時就稱為多元運算。
這種運算定義具有更廣泛的意義。例如，在計算機中“字元串”的拼接、分解等均為運算；“圖形”中的放大、縮小及旋轉、移位等均屬運算。有了這種擴展性質的運算後，客觀世界(包括計算機世界)中多種“處理手段”都可抽象為運算，從而都可以納入代數系統的討論範圍。因此我們說：運算是對客觀世界對象的一種加工手段與工具。
代數系統
有了運算後就可以建立系統。這種系統稱為代數系統。它由三部分組成：
(1) 一個非空集合
。
(2) 有k個S上的運算——
。
(3) 運算封閉性——即S中元素經運算後的結果仍在S中。
這三者組成代數系統：
。
代數系統的三個條件給出了一個完整系統的基本要素，即加工對象、加工工具和基本約束。這裡所定義的代數系統是一種具有普遍意義的表述，一般常用的是以二元運算為主(一元運算較少見，多元運算基本不用)，而在一個系統中一般僅包含一個或兩個運算為多見。
下面給出一些代數系統的例子。
【例1】自然數集N及其“+”運算組成代數系統，即
是代數系統。
【例2】實數集R及其運算
組成代數系統
。
【例3】有限個字母組成的集合X，在其上可以構造字母串(稱為句子)，它們構成的集合稱為
，對構造一個並置運算“
”；設
，則
，這樣，與“”所構成的
是代數系統。
代數系統用系統的觀點研究數學，將不同集合與運算構成不同的系統以分門別類研究。
運算規則
代數系統是以運算為中心的一種系統。因此，討論代數系統首先要討論運算的規律。運算一般有下面這些主要規律。對
有：
(3) 單位：S中存在唯一一個元素e，對任一
，必有
，e稱為運算
的單位(素)。
(4) 零元：S中存在唯一一個元素0，對任一，必有
，0稱為運算的零元(素)。
(5)逆元：對S中元素，若存在唯一一個元素
，有
稱為
的逆元(素)。
(6) 對
有分配律。若
，均有：
【例4】整數集及其運算“+”所組成的代數系統
滿足結合律、交換律，並存在單位0，且每個整數必有逆元，如+3之逆元為3；-7之逆元為+7；0的逆元為0等。
著名代數系統
在代數系統中可以按運算的性質不同劃分成為多個個體系統作研究。常用的有：
群(group)
代數系統
如滿足結合律，有單位與逆元，則稱為群。
群是代數系統中研究具一個二元運算的代表性系統。
環(ring)
代數系統
如滿足
是群，且滿足交換律，
滿足結合律，中對+滿足分配律，則稱為環。
環是代數系統中有兩個二元運算且運算性質不對稱的代表性系統。
布爾代數(boolean algebra)
代數系統
如對+與都滿足交換律、分配律，有單位與零元，且對一個一元運算“
”有
，則該系統稱為布爾代數。
布爾代數是有兩個二元運算及一個一元運算的典型代數系統。它在計算機中有重要套用。
