基本介紹
- 中文名：除以零
- 外文名：divided by zero
- 定義：某數除以零可表達為a/0
- 運用：端視其在如何的數學設定下計算
- 介紹：一般實數算術中，此式為無意義
簡介,基本算術,早期嘗試,代數處理,除以零的謬誤,虛假的除法,數學分析,擴展的實數軸,無限接近法,黎曼球,
簡介
基本算術
若除以0又如何？若有10個蘋果，無人來分，每“人”可得多少蘋果？問題本身是沒有意義的，根本無人來，談論每“人”可得多少根本多餘。所以，10÷0，在基本算術中，是無意義或未下定義的。
另一種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如“13除以5”，換一種說法，13減去兩個5，餘下3，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為13÷5 = 2…3。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。
早期嘗試
婆羅摩笈多（598–668年）的著作Brahmasphutasiddhanta被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多，
"一個正或負整數除以零，成為以零為分母的分數。零除以正或負整數是零或以零為分子、該正或負整數為分母的分數。零除以零是零。"830年，摩訶吠羅在其著作Ganita Sara Samgraha試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：
代數處理
若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即a/b值是方程bx = a中x的解（若有的話）。若設b = 0，方程式bx = a可寫成 0x = a或直接 0 = a。因此，方程bx = a沒有解（當a ≠ 0時），但x是任何數值也可解此方程（當a = 0時）。在各自情況下均沒有的數值，所以1未能下定義。
除以零的謬誤
在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：2 = 1
由：0×1=0，0×2=0，
得出0×1=0×2。
兩邊除以零，得出0×1/0=0×2/0。
化簡，得：1=2！
以上謬論一個假設，就是某數除以0是容許的並且0 / 0 = 1。
虛假的除法
數學分析
對於函式y=1/x，當x→0時，y→∞；反之亦然。
擴展的實數軸
表面看來，可以藉著考慮隨著b趨向0的a/b極限而定義a/0。 對於任何正數a，
而對於任何負數a，
所以，對於正數a，a/0可被定義為+∞，而對於負數a則可定義為-∞。不過，某數也可以由負數一方（左面）趨向零，這様，對於正數a，a/0定義為-∞，負數a定義為+∞。由此可得（假設實數的基本性質可套用在極限上）：
