悖論是表面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。悖論的抽象公式就是：如果事件A發生，則推導出非A，非A發生則推導出A。悖論是命題或推理中隱含的思維的不同層次、意義（內容）和表達方式（形式）、主觀和客觀、主體和客體、事實和價值的混淆，是思維內容與思維形式、思維主體與思維客體、思維層次與思維對象的不對稱，是思維結構、邏輯結構的不對稱。悖論根源於知性認識、知性邏輯（傳統邏輯）、矛盾邏輯的局限性。產生悖論的根本原因是把傳統邏輯形式化、把形式邏輯普適性絕對化，即把形式邏輯當做思維方式。所有悖論都是因形式邏輯思維方式產生，形式邏輯思維方式發現不了、解釋不了、解決不了的邏輯錯誤。所謂解悖，就是運用對稱邏輯思維方式發現、糾正悖論中的邏輯錯誤。
基本介紹
- 中文名：悖論
- 外文名：paradox
- 別名：反論、逆論
- 產生原因：形式邏輯思維方式
定義,性質,根源,解悖,悖論類型,自指引發,引進無限,
定義
悖論是表面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。悖論的抽象公式就是：如果事件A發生，則推導出非A，非A發生則推導出A。悖論是命題或推理中隱含的思維的不同層次、意義（內容）和表達方式（形式）、主觀和客觀、主體和客體、事實和價值的混淆，是思維內容與思維形式、思維主體與思維客體、思維層次與思維對象的不對稱，是思維結構、邏輯結構的不對稱。悖論根源於知性認識、知性邏輯（傳統邏輯）、矛盾邏輯的局限性。產生悖論的根本原因是把傳統邏輯形式化、把形式邏輯普適性絕對化，即把形式邏輯當做思維方式。所有悖論都是因形式邏輯思維方式產生，形式邏輯思維方式發現不了、解釋不了、解決不了的邏輯錯誤。所謂解悖，就是運用對稱邏輯思維方式發現、糾正悖論中的邏輯錯誤。
性質
悖論是命題或推理中隱含的思維的不同層次、意義（內容）和表達方式（形式）、主觀和客觀、主體和客體、事實和價值的混淆，是思維內容與思維形式、思維主體與思維客體、思維層次與思維對象的不對稱，是思維結構、邏輯結構的不對稱。
根源
悖論根源於知性認識、知性邏輯（傳統邏輯）、矛盾邏輯的局限性。產生悖論的根本原因是把傳統邏輯形式化、把傳統邏輯普適性絕對化，即把形式邏輯當作思維方式。
解悖
悖論與解悖 悖論是表面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。悖論的抽象公式就是：如果事件A發生，則推導出非A，非A發生則推導出A。悖論是命題或推理中隱含的思維的不同層次、意義（內容）和表達方式（形式）、主觀和客觀、主體和客體、事實和價值的混淆，是思維內容與思維形式、思維主體與思維客體、思維層次與思維對象的不對稱，是思維結構、邏輯結構的不對稱。悖論根源於知性認識、知性邏輯（傳統邏輯）、矛盾邏輯的局限性。產生悖論的根本原因是把傳統邏輯形式化、把傳統邏輯普適性絕對化。所有悖論都是因形式邏輯思維方式產生，形式邏輯思維方式發現不了、解釋不了、解決不了的邏輯錯誤。所謂解悖，就是運用對稱邏輯思維方式發現、糾正悖論中的邏輯錯誤。
用對稱邏輯解“說謊者悖論”
用對稱邏輯解“說謊者悖論” “說謊者悖論”即“我在說謊”這句話中所蘊含的悖論。這個悖論表面上由“我在說謊”和“我說實話”這兩個對立的“命題”組成，實際上這兩個“命題”並不等價——前一個命題包含思維內容，後一個“命題”只是前一個命題的語言表達式，因此後一個“命題”不是嚴格意義上的命題。長期以來人們之所以把其看成悖論，是由於把兩個“命題”看成等價，即都是思維內容和語言表達式統一的命題。只要把思維的兩大層次：命題的思維內容和命題的語言表達式區別開來，“我在說謊”這個悖論即可化解。
西元前6世紀，克利特哲學家埃庇米尼得斯(Epimenides)說了一句很有名的話：“所有克利特人都說謊。”這句話有名是因為它是一個經典悖論，即“說謊者悖論”。因為如果埃庇米尼得斯所言為真，那么克利特人就全都是說謊者，身為克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，於是他所說的這句話應為謊言，但這跟先前假設此言為真相矛盾;又假設此言為假，那么也就是說所有克利特人都不說謊，自己也是克利特人的埃庇米尼得斯就不是在說謊，就是說這句話是真的，但如果這句話是真的，又會產生矛盾。因此通常認為這句話是無法解解決的悖論。這是一個困擾人類幾千年、因而也挑戰人類智慧幾千年的表面自相矛盾的無限邏輯循環。英國著名哲學家羅素曾經試圖用命題分層的辦法解決這個悖論。“第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題;第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題;其餘仿此，以至無窮。”但是這一方法並沒有取得成效。“1903年和1904年這一整個時期，我差不多完全是致力於這一件事，但是毫不成功。”羅素之所以不成功是因為他把思維的層次和命題的層次混為一談。
解悖：說謊者悖論根源於混淆了“對與錯”同“真與假”兩對範疇。“對與錯”同“真與假”是對應關係，而非等同關係——“對與錯”是內容是否符合事實，“真與假” 只是形式上表述真假。“我在說謊”之所以成為悖論，是由於混淆了這兩對範疇，因而混淆了思維內容與思維形式。如果這句話確是假的，只能說明表述正確，而不能使這句話內容弄假成真;如果這句話是真的，只能說明這句話表述錯誤，也不等於這句話內容是假的。要把這句話表述正確與否(形式)，同這句話本身內部的真假(內容)區別開來。很多悖論都是把表述的正確與否，同表述內容的真與假混為一談。內容的真假，不因表述的對與錯而改變。內容是真的，不因表述錯變成假的;反之，內容是假的，不因表述正確而變成真的。把思維對象、思維內容和思維形式——語言表述形式區別開來不同於羅素的“命題分層”，因為任何層次的命題都有思維對象、思維內容和思維形式的關係，任何層次的命題都是思維內容和表述形式的統一，如果不能區別思維對象、思維內容和思維形式，命題分層的結果是每一層次的命題都會產生悖論。羅素的“命題分層”方法僅僅對命題進行分層，而沒有分離命題的內容和表述形式，所以無法解決“說謊者悖論”。在這裡對稱邏輯通過限定層次範圍，使語言的內容和語言的對象對稱。“說謊者悖論”這個經典悖論說明，思維內容和思維形式、思維主體與思維客體的對稱是對稱邏輯的基本原理。
用對稱邏輯解“鱷魚困境悖論”
一個鱷魚偷了一個父親的兒子，它保證如果這個父親能猜出它要做什麼，它就會將兒子還給父親。如果這個父親猜“鱷魚不會將兒子還給他”，就會成為所謂的“悖論”：如果鱷魚不還兒子，那么父親就猜對了，鱷魚就必須把孩子還給父親，否則鱷魚違背了諾言;如果鱷魚將兒子還給他，那么父親就猜錯了，鱷魚又違背了諾言。
解悖：鱷魚“要做什麼”是一種心理狀態，鱷魚“把孩子還給父親”是一種行為，二者在時間上是前後銜接的兩個階段。同樣，這個父親猜“鱷魚不會將兒子還給他”是鱷魚心理狀態，後來“鱷魚將兒子還給他”是鱷魚行為。這個父親猜“鱷魚不會將兒子還給他”這種鱷魚的心理狀態和後來“鱷魚將兒子還給他”這種鱷魚行為之間同時存在並不矛盾——正是因為這個父親猜對了鱷魚的心理“不把兒子還給他”，所以鱷魚為了履行諾言必須在行動上把兒子還給他。在這裡對稱邏輯通過限定時間範圍，使語言的內容和語言的對象對稱。
用對稱邏輯解“數學悖論”
1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成為它們的基礎。到19世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論的基礎上。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊興高采烈地宣稱：“藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……我們可以說絕對的嚴格性已經達到了”。 1903年，一個震驚數學界的訊息傳出：集合論有漏洞!這就是英國數學家羅素提出的著名的“羅素悖論”。“羅素悖論”使集合論產生危機。“羅素悖論”就是“理髮師悖論”：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎!”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉;而如果他給自己刮臉呢?他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
解悖：理髮師要給“本城所有不給自己刮臉的人刮臉”這個廣告語中的對象很明確：就是他可以為之服務並且可以從對方身上盈利的人，所以廣告語中“本城所有不給自己刮臉的人”這個集合顯然不包括他自己。這個悖論之所以會成為悖論是因為混淆了這個廣告語本意所指的對象和這個廣告語本意不包括的對象的區別，把這個廣告語本意所指的不包括作廣告本人的對象集合，抽象化為也包括作廣告的人本身。而這種主客體對象的混淆、把這種不包括主體在內的對象的集合錯誤地認為也包括主體在內，源於建立在形式邏輯基礎上的數學集合論沒有主客體區分這個概念, 而這又源於傳統形式邏輯沒有主客體區分，所以很容易把主客體混為一談造成對象的混淆而陷於悖論。“理髮師悖論”、“羅素悖論”、“集合論悖論”是同義語，都是所謂的“數學悖論”。“數學悖論”說明：形式邏輯必須有限度有條件使用，把形式邏輯抽象化無條件使用會陷於悖論。社會領域是主客體統一的領域，經濟領域是主客體統一的領域，經濟現象是以主客體統一為核心的複雜性現象，把建立在形式邏輯基礎上的數學抽象化無條件運用到經濟與經濟學領域、特別是經濟學基礎理論只能陷於悖論。計量經濟學可以成立，但計量經濟學是低層次的經濟學，和經濟學不能化等號，用計量經濟學證明經濟學可以數學化是錯誤的。經濟學理論的層次性和運用數學的可能性與必要性是對稱的，經濟學理論的層次和運用數學的可能性與必要性成反比，這是一條定理。
用對稱邏輯解“外祖母悖論”
外祖母悖論：英國科學家霍金構想人有可能乘坐時速超過光速的宇宙飛船——“時間機器”通過時間隧道回到過去，甚至回到外祖母懷他母親之前；因此人有可能在外祖母懷他母親之前殺死外祖母；人如果在外祖母懷他母親之前殺死外祖母，外祖母就不可能生這個人的母親，這個人也就不可能出世； 現在這個人不但出世了，而且還殺死了他的外祖母。這就產生了悖論。這個悖論的抽象公式：不可能=現實。解決“外祖母悖論”，物理界產生了平等歷史(也叫平行宇宙)的說法。
解悖：這個悖論犯了“用錯誤前提推出正確結論”的邏輯錯誤。產生這個悖論的根本原因是“人有可能乘坐時間機器通過時間隧道回到過去，甚至回到外祖母懷他母親之前”這個前提不成立。時間本身是不可逆的，人不管怎樣都是不可能回到過去的，人在外祖母懷他母親之前殺死外祖母是不可能發生的事。解開這個悖論的公式：不可能=不可能。這個悖論的邏輯錯誤根源於混淆了參照系與慣性系，把宇宙慣性系本身不可能發生的事情因為混淆了參照系與慣性系而強加給宇宙慣性系，得出錯誤的結論。即使人可以乘坐時速超過光速的“時間機器”通過“時間隧道” 進行超越光速的時間旅行，人也只能看到死去的親人生前活動的光影，不可能與死去的親人見面並和死去的親人對話，就像人可以通過錄像看過去發生的事情不等於回到過去一樣。人不可能在外祖母懷他母親之前殺死外祖母，就像人不可能改變過去已經發生過的事。“世界上沒有後悔藥”指的就是時間是不可倒流的。不能把追光和時間倒流混為一談。霍金之所以把“追光”和“時間倒流”混為一談，是因為他和愛因斯坦一樣混淆了參照系與慣性系這兩個不同概念。參照系——“人可以追光”只能是相對於人而言，因而具有主觀的特徵；而慣性系“時間不可倒流”是客觀存在的。參照系與參照系對稱，慣性系與慣性系對稱。同時性在不同的參照系之間只能是相對的，但是在不同的慣性系之間可以絕對存在。參照系與慣性系之間是否對稱，必須放在主客體相統一的更大範圍、更高層面來考察。整個宇宙是一個慣性系，不以人的意識為轉移。霍金的時間機器理論把參照系與慣性系混為一談，把自己回到過去的意志通過所謂的“時間機器”與“時間隧道”的構想強加到宇宙頭上，違背了對稱性的原理，把人類認識的局限性誇大為對宇宙整體和本質的認識。主客體間的不對稱必然得出錯誤的結論。
用對稱邏輯解“孿生子佯謬”
孿生子佯謬是一個與相對論有關的悖論。愛因斯坦的成就之一，就是引進了一個定律，用C表示恆定的真空光速，把它納入自然常數之列，作為不可達到的最高臨界速度。根據光速恆定，引出了相對論的兩個著名的“佯謬”，它們曾經被人嘲諷為相對論的“荒誕無稽”的結論。“孿生兄弟佯謬”是指以快速運動為參考系的鐘，比靜止參考系中的鐘走得慢。根據這一結論，人們可以得出這樣的一個結果：一個乘飛船按接近光速的速度在太空旅行的人，當他返回地球的時候，就會比生活在地球上的孿生兄弟年輕。因為他的生物鐘，比留在地球上的人要慢。儘管目前的宇宙飛船還遠遠達不到接近光速的速度。在1905年，愛因斯坦的狹義相對論確立以前，牛頓定律是速度遠遠小於光速條件下的定律，機械自然觀統馭著人們的空間想像，因此無法解釋這一現象。愛因斯坦關於時間相對論化的概念是嶄新的，它取締了牛頓“絕對時間”的概念，使“絕對運動”概念也失去了立足之地。
解悖：這個悖論的根源在於：愛因斯坦一樣混淆了參照系與慣性系這兩個不同概念。參照系——“以快速運動為參考系的鐘”的快慢只能是相對於人而言，因而具有主觀的特徵；而慣性系“絕對時間”是客觀存在的。一個人的生物鐘取決於絕對時間而不是取決於相對時間，哥哥的生物鐘不會因為以快速運動為參考系的鐘比靜止參考系中的鐘走得慢，而比弟弟的生物鐘走得慢；哥哥也不會因為乘飛船按接近光速的速度在太空旅行一段時間後變得比弟弟年輕。愛因斯坦的同時性的相對性原理屬於參照系，牛頓“絕對時間”屬於宇宙慣性系，只要把參照系和慣性系區別開來，愛因斯坦的同時性的相對性原理理論與牛頓“絕對時間”理論兩者並不衝突，都是科學的。參照系與參照系對稱，慣性系與慣性系對稱。同時性在不同的參照系之間只能是相對的，但是在不同的慣性系之間可以絕對存在。參照系與慣性系之間是否對稱，必須放在主客體相統一的更大範圍、更高層面來考察。整個宇宙是一個慣性系，不以人的意識為轉移。愛因斯坦把參照系與慣性系混為一談，把屬於參照系範疇的時鐘快慢、同時性的相對性原理強加到宇宙頭上，認為是宇宙慣性系本身固有的，違背了對稱性的原理，把人類認識的局限性誇大為對宇宙整體和本質的認識。主客體間的不對稱必然得出錯誤的結論，“孿生子佯謬”的產生是不奇怪的。愛因斯坦的同時性的相對性原理不等於愛因斯坦的相對論，愛因斯坦的同時性的相對性原理屬於以人為觀察主體的參照系，愛因斯坦的相對論是宇宙慣性系的規律反映。愛因斯坦的相對論——時間和空間的相互轉化是宇宙慣性系本身固有的，與參照系無關，與人對時間的感覺無關，與牛頓的“絕對時間”也沒有衝突。
用對稱邏輯解“伸縮的尺悖論”
伸縮的尺這是愛因斯坦的同時性的相對性原理引出的另一個悖論：一把快速運動著的尺子，它和靜止狀態相比，在運動方向上長度縮短。這個問題是從麥可遜實驗結果提出來的，後來形成了洛侖茲的機械收縮假說。愛因斯坦認為，這種收縮可以用兩個參考系之間存在著的相對速度來解釋。
解悖：這個悖論的產生同樣由於混淆了參照系與慣性系，並因此混淆了絕對運動和相對運動概念。宇宙中物體的運動既有相對運動——在參照系中的運動，也有絕對運動——不在參照系、只在慣性系中的運動。在參照系中一把快速運動著的尺子和靜止狀態相比在運動方向上長度縮短，在慣性系中一把快速運動著的尺子和靜止狀態相比在運動方向上長度不會縮短。這個悖論產生的原因是運動物體的時間和空間不對稱，把特定時空狀態（參照系）下運動的物體性質推到所有時空狀態（慣性系）下運動的物體性質，犯了以偏概全的邏輯錯誤。
用對稱邏輯解先有雞還是先有蛋這個悖論
既然到底是先有雞還是先有蛋這個悖論自有人類以來就一直困擾著人類，那就說明這個問題不是技術問題，而是哲學問題，嚴格來講是思維方式問題。如果是技術問題，現在科學這么發達這個問題早就解決了。怎樣從哲學或思維方式解決這個問題呢?根據五度空間理論，任何空間並列的東西，都有層次關係與時間關係，空間時間層次是相互轉化的；事物的深層結構是低層結構的本質，事物的發展過程就是從本質到現象的展開過程。因此，如果我們找出空間並列的東西之間的層次關係、本質和現象的關係，也就找到了它們之間的時間先後關係。
從哲學邏輯看，能孵蛋的只有母雞，公雞不能孵蛋;而蛋可以產生公雞和母雞，這說明蛋是公雞和母雞的共同本質，根據本質在先原理，蛋在先。從生命科學的邏輯看，雞和蛋的共同本質是什麼?是細胞。生命系統的結構層次由簡單到複雜為：細胞—組織—器官—系統—個體。細胞是生命系統的結構層次中最深層次，也是生命系統的本質；從細胞到個體的展開過程體現了生命系統從本質到現象的展開過程。雞屬於個體，雞蛋屬於從細胞到個體的演化過程，所以蛋在先。從物種產生的歷史過程看，科學證明自然界是從無機物轉變為有機物，簡單有機物轉變為複雜有機物然後進一步轉變為動物的過程。從物種起源看，任何新的物種都是通過雜交或者基因突變衍生而來的，雞這個新物種的產生也不例外。雞產生之前的其他禽類動物出現了基因突變，進而產下蛋，經過發育成長成雞，因此，先有蛋。從生命個體的形成產生過程看，動物細胞分為體細胞與生殖細胞，生命個體的形成產生過程是從生殖細胞到個體細胞的發展過程。雞蛋是一個單獨的細胞，叫受精卵，也叫生殖細胞，受精卵發育成胚胎進而形成雛雞的過程就是從生殖細胞到個體細胞的發展過程。因此，先有蛋。
用對稱邏輯解“阿基里斯追不上烏龜悖論”
用時空相對論解“阿基里斯悖論” 阿基里斯（Achilles）是希臘神話中善跑的英雄。芝諾講：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領先於他的烏龜，因為當他要到達烏龜出發的那一點，烏龜又向前爬動了。阿基里斯和烏龜的距離可以無限地縮小，但永遠追不上烏龜。
解悖：這個悖論割裂了運動時空間的連續性與非連續性的統一，只看到運動時空間的連續性，沒有看到運動時空間的非連續性。連續運動的物體——烏龜——在特定的時間必定要經過特定的空間，這個空間完全可以和連續運動的另一物體——阿基里斯——在特定的時間必定要經過的特定的空間重合，這個重合點就是阿基里斯追上烏龜的時空點。這個重合完全可以以阿基里斯超過烏龜的形式實現。這說明，阿基里斯可以追上烏龜。同時，這個悖論是以阿基里斯不可能超過烏龜、只能跟在烏龜後面為立論前提，也就是以阿基里斯永遠追不上烏龜為阿基里斯永遠追不上烏龜的立論前提，這是犯了把結論當預設前提的邏輯錯誤——循環論證的邏輯錯誤。這個悖論的語言表達式是：因為阿基里斯只能跟在烏龜後面追（阿基里斯永遠追不上烏龜），所以阿基里斯永遠追不上烏龜。這個悖論的表達式也是：因為阿基里斯永遠追不上烏龜，所以阿基里斯永遠追不上烏龜。即：因為A，所以A。循環論證。我們要追一個人的時候，要么從後面把他拉住，要么超過他，哪裡有僅僅跟在他腳跟後面。問題是這個悖論這么明顯的邏輯錯誤，幾千年沒有人能看出來，用什麼集合論來論證阿基里斯能追上烏龜。如果阿基里斯只能跟在後面追這個前提能成立，阿基里斯永遠追不上烏龜這個結論就是正確的。
用對稱邏輯解寶塔從有到無悖論
一個寶塔，如果從下面抽走它的磚，一塊一塊地抽，這是量變。當到達一定的度時，寶塔倒塌了，發生了質變，說明寶塔沒有了。人們可以看到一準確的“度”。但是現在從上面拿走它的磚，一塊一塊地抽，這也是量變。直到拿完，寶塔不存在了，發生了質變，但人們就不容易找到從量變到質變中間的一個準確的“度”了。這個悖論的公式：同樣都是從量變到質變，一個有度一個沒度。
解悖：這是哲學中從量變到質變的一個例子。量變到質變有兩種形式——純粹的量變到質變，序變（結構變化）到質變。從上到下沒有結構變化，所以一直到塔沒了，屬於前一種量變到質變；從下到上由於重力的作用使塔的結構發生變化，所以塔塌了，屬於後一種量變到質變。塔沒了和塔塌了都是一種“度”，只不過不同的質變有不同的“度”的形式。塔沒了這種質變的“度”是塔不成為塔的最後一塊磚，具體那一塊是塔不成為塔的最後一塊磚要靠直覺來把握，不能靠數字計算來把握。實際上兩種量變到質變的度都存在，都可以通過肉眼觀察到，後一種從量變到質變中間的一個準確的“度”也同樣可以觀察到。該悖論的錯誤在於：把量變到質變的一種類型的度，當做量變到質變的唯一類型的度，把不完全歸納當完全歸納，犯了以偏概全的邏輯錯誤。
用對稱邏輯解谷“堆”悖論
如果1粒穀子落地不能形成谷堆，2粒穀子落地不能形成谷堆，3粒穀子落地也不能形成谷堆，依此類推，無論多少粒穀子落地都不能形成谷堆。它的邏輯結構：1粒穀子不是堆，如果1粒穀子不是堆，那么，2粒穀子也不是堆；如果2粒穀子不是堆，那么，3粒穀子也不是堆；如果99999粒穀子不是堆，那么，100000粒穀子也不是堆；因此，100000粒穀子不是堆。按照這個結構，無堆與有堆、貧與富、小與大、少與多本應該都沒有區別，而現實中無堆與有堆、貧與富、小與大、少與多都有區別，悖論由此產生。
解悖：世界上任何事物的產生都要經歷從無到有、從小到大的過程，這個過程通過量變到質變的轉化來實現。世界上任何量變都會產生質變。所以從量變到質變是事物發展的客觀規律、普遍規律，也是科學的基本原理。這個悖論的根源在於：否認量變會引起質變，否認穀粒的量變會產生“堆”的質變。穀粒的量變到產生“堆”的質變中間有個“度”，這個度只能通過直覺來把握，不可能通過對穀粒量的增加的數學計算來把握。對穀粒量的增加的數學計算只能把握量變，不能把握穀粒的量變到產生“堆”的質變中間的“度”，也無法把握穀粒的量變到產生“堆”的質變。這是因方法錯誤把不可能的結論當做不可能的前提，犯了把結論當前提的邏輯錯誤。
用對稱邏輯解知道不知道悖論
蘇格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什麼都不知道。”
解悖：這個悖論由“知道”和“什麼都不知道”兩個命題組成，似乎自相矛盾，而且自相矛盾的兩個命題都能成立。但兩個命題所指的對象不同。“什麼都不知道”這個命題的對象是外界事物，“知道”這個命題的對象是“什麼都不知道”這個命題本身。這句話之所以成為悖論，是因為混淆了兩個命題包含的不同對象，誤以為兩個命題的對象是同一的，兩個命題是等價的，違背了形式邏輯同一律。對稱邏輯要求命題與對象對稱。只要命題與對象對稱，這個悖論即可化解。
用對稱邏輯解“每一句話都是假話”悖論
這句話之所以成為悖論，是因為他說的每一句話都是假話中也包括“我說的每一句話都是假話”這句話本身。悖論：如果“我說的每一句話都是假話”這句話是真的，那么“我說的每一句話都是假話”這句話本身也是假話；如果“我說的每一句話都是假話”這句話本身也是假話，那么“我說的每一句話都是假話”這句話還會是真的嗎？
解悖：把這句話內容的指向對象和形式（語言表達式）的指向對象區別開來。“我說的每一句話都是假話”這句話的內容指向對象是除了這句話以外的任何一句話；“我說的每一句話都是假話”這句話的形式指向對象是“我說的每一句話都是假話”這句話本身。如果“我說的每一句話都是假話”這句話的內容指向對象——除了這句話以外的任何一句話都是假話，說明這句話內容是對的，“我說的每一句話都是假話”這句話形式指向對象“我說的每一句話都是假話”這句話本身表述是真的——是作了真實的表述。所以，如果“我說的每一句話都是假話”這句話是真的——作了真實的表述，那么“我說的每一句話都是假話”這句話本身不是假話。所以只要把這句話內容的指向對象和形式（語言表達式）的指向對象區別開來，“我說的每一句話都是假話”這句話所包含的悖論可以化解。解悖的關鍵在於：把這句話內容的指向對象和形式（語言表達式）的指向對象區別開來。“我說的每一句話都是假話”這句話的內容指向對象是除了這句話以外的任何一句話，並不包括這句話本身。
用對稱邏輯解唐·吉訶德悖論
世界文學名著《唐·吉訶德》中有這樣一個故事：唐·吉訶德的僕人桑喬·潘薩跑到一個小島上，成了這個島的國王。他頒布了一條奇怪的法律：每一個到達這個島的人都必須回答一個問題：“你到這裡來做什麼？”如果回答對了，就允許他在島上遊玩，而如果答錯了，就要把他絞死。對於每一個到島上來的人，或者是盡興地玩，或者是被吊上絞架。有多少人敢冒死到這島上去玩呢？一天，有一個膽大包天的人來了，他照例被問了這個問題，而這個人的回答是：“我到這裡來是要被絞死的。”請問桑喬·潘薩是讓這個人在島上玩，還是把他絞死呢？如果讓他在島上遊玩，那就與他說“要被絞死”的話不相符合，這就是說他說“要被絞死”是錯話。既然他說錯了，就應該被處絞刑。但如果桑喬·潘薩要把他絞死呢？這時他說的“要被絞死”就與事實相符，回答就是對的，既然他答對了，就不該被絞死，而應該讓他在島上玩。最終桑喬·潘薩思索再三，讓衛兵把這個人放了，並且宣布這條法律作廢。這個悖論的焦點：這個人回答正確與回答錯誤兩個相反的結論都可以成立，形式邏輯不矛盾律在這裡無效。
解悖：這個悖論混淆了“正確錯誤的答案”和“對這個答案的處理行為”兩個概念，犯了混淆概念的邏輯錯誤。答案正確錯誤的標準在這個島的國王心中，而不在這個島的國王對這個答案的處理行為中。這個答案正確錯誤的標準和這個島的國王對這個答案的處理行為之間是因果關係、先後關係、前提和結論的關係。所以這個人如果被絞刑只能證明他在被執行絞刑之前已經回答錯誤，他被執行絞刑是他已經回答錯誤的證明，而不是說明他回答正確。
用對稱邏輯解言盡悖
莊子《齊物論》中說：“大辯不言.. 言辯而不及”，真理是無法用語言表達清楚的，言語與辯解總是與真理之間存在差異。作為墨家思想家的墨子，在著作中《墨子 經下》和《墨子 經說下》評擊“言盡悖”的說法：“以言為盡悖，悖。說在其言。以悖，不可也。之人之言可，是不悖，則是有可也；之人之言不可，以當，必不審”。墨子認為，“言盡悖”這句話本身是悖論：若所有言論都無法表達真理，那“所有言論都無法表達真理”這句話也無法表達真理；如果“所有言論都無法表達真理”這句話能夠表達真理；那說明有的言論可以表達真理，“所有言論都無法表達真理”這句話也不成立。“所有言論都無法表達真理”這句話不管能不能表達真理都不成立，違背形式邏輯排中律。形式邏輯排中律：一個命題不是正確就是錯誤，不是錯誤就是正確，不可能有第三方。“所有言論都無法表達真理”這句話不管正確錯誤都不成立，肯定存在第三方，形式邏輯排中律在這裡失效。
解悖：“所有言論都無法表達真理”這句話所指的對象和“所有言論都無法表達真理”這句話本身不是一個層次，“所有言論都無法表達真理”這句話所指的對象指“所有言論都無法表達真理”這句話以外的言論，不包括“所有言論都無法表達真理”這句話本身；“所有言論都無法表達真理”這句話本身是對“所有言論都無法表達真理”這句話以外的言論的反思，層次高於“所有言論都無法表達真理”這句話以外的言論。這個悖論混淆了命題的不同層次的對象，使命題的不同層次的對象之間相悖，違背了形式邏輯同一律。形式邏輯同一律是所有邏輯規律的最基本規律，形式邏輯排中律以形式邏輯同一律為基礎。在違背形式邏輯同一律基礎上出現除正確錯誤之外的第三方是正常的，並沒有違背形式邏輯排中律。只要搞清楚“所有言論都無法表達真理”這句話所指的對象和“所有言論都無法表達真理”這句話本身不是一個層次，“所有言論都無法表達真理”這句話能夠表達真理和“所有言論都無法表達真理”這句話以外的所有言論都無法表達真理之間並不矛盾。
用對稱邏輯解秦趙之約悖論
秦國與趙國訂立條約：今後，秦國想做的，趙國幫助；趙國想做的，秦國幫助。不久，秦國興師攻打魏國，趙國打算援救。秦王不高興，差人對趙王說：秦國想做的，趙國幫助；趙國想做的，秦國幫助。秦國要打魏國，而趙國援救他們，這是違約。趙王把這個訊息轉告給平原君，平原君向公孫龍請教。公孫龍回答：“趙王也可以派人對秦王說：趙國打算援救魏國，現在秦國卻不幫助趙國，這也不合乎條約。”
解悖：法律上有“違約在先”一說，即契約一方已經違約的情況下，另一方違約不算違約。本悖論的產生源於沒有把兩個違約的行為和各自的時間對稱，犯了不當類比的錯誤。
用對稱邏輯解紙牌悖論
紙牌悖論就是紙牌的一面寫著：“紙牌反面的句子是對的。”而另一面卻寫著：“紙牌反面的句子是錯的。”那么到底哪句是正確的？
解悖：紙牌正反兩面的表述是對立的，由於這對立的兩種表述都是內容和形式統一的命題，所以只能說這個所謂的悖論實際上是自相矛盾，違背了形式邏輯的不矛盾律，製造這個悖論只不過是玩文字遊戲。
用對稱邏輯解上帝造石頭悖論
解悖：“上帝能不能造出自己也舉不起來的石頭”，這裡的“能”和上帝“萬能”的“能”字面相同、內涵不同，不是同一個概念，違背了形式邏輯的同一律。“萬能的上帝造出來的石頭當然自己能夠舉起來”這裡的“能”是客觀能力的“能”，屬於客觀的範疇；“上帝能不能造出一塊自己也舉不起來的石頭？”這裡的“能不能”是“會不會”的意思，“能”屬於主觀願望的範疇。所以這個所謂的“悖論”是只看命題語言形式、不看命題思維內容，混淆了字面相同、內涵不同的兩個概念的結果。只要把這兩個概念區別開來，這個“悖論”可解。把傳統邏輯形式化，就必然導致只看命題語言形式、不看命題思維內容，產生悖論；只有對稱邏輯才能區別概念的思維形式與思維內容，從而解悖。從對稱邏輯的眼光來看，這個“悖論”純粹就是語言遊戲——違背了形式邏輯的同一律。
用對稱邏輯解“三元悖論”
“三元悖論”是由美國經濟學家保羅·克魯格曼就開放經濟下的政策選擇問題提出，其含義是：本國貨幣政策的獨立性，匯率的穩定性，資本的完全流動性不能同時實現，最多只能同時實現兩個目標，而放棄另外一個目標
解悖：此“悖論”形成的根本原因是把“匯率穩定”和“匯率固定”畫等號。只要把“匯率的穩定性”不是理解成匯率的固定性，而是理解成貨幣價格和價值的對稱，貨幣價值是“貨幣實際發行量”和“有效經濟總量”的對稱，貨幣價格（匯率）隨著貨幣價值的變動而變動，但變動的比值不變，那么就可以做到匯率的穩定性和匯率的浮動性的統一，匯率的穩定性通過匯率的浮動性表現出來，匯率的浮動性體現了匯率的穩定性，也就可以做到本國貨幣政策的獨立性，匯率的穩定性，資本的完全流動性三者同時實現。
解悖的關鍵是定義“匯率穩定”這個概念，關鍵的關鍵是理解貨幣價值和價格的對稱關係、匯率穩定性和匯率浮動性的對稱關係、“貨幣實際發行量”和“有效經濟總量”的對稱關係。在這裡對稱邏輯通過使概念的對象和對象對稱，實現概念的內涵和概念的對象對稱。“匯率穩定”這個概念不是指的匯率形式上的固定，而是指的匯率（貨幣價格）隨著貨幣價值的變動而變動，但變動的比值不變；也就是說，匯率名義上變了，但實際匯率沒變。如果各國採取對本國有利的投機主義貨幣政策，故意使本國貨幣貶值或升值，那么在固定匯率制下就有可能使其他國家受損。在這種情況下固定匯率制和貨幣政策的獨立性就是不兼容的，即使資本完全流動也不可能解決這個矛盾。但如果匯率在隨行就市中使匯率和各國投機主義貨幣政策造成的該國貨幣幣值的變化同步，使貨幣的價格和價值隨機實現一致，各國貨幣政策的獨立性和匯率的穩定性就可以統一，同時也就可以實現資本的完全流動性。以上只是從純邏輯的角度抽象立論。在現實上，本國貨幣政策的獨立性本來只能是相對的，國際貨幣體系包括對各國貨幣政策進行監管的機制；投機性的國際資本流動本來就應該被有效控制。“三元悖論”及其解決說明只有對稱經濟學才是科學的經濟學。
用對稱邏輯解“二分法悖論”
用無限性和有限性、運動的連續性和非連續性的統一解“二分法悖論”。 當一個物體行進一段距離到達D，它必須首先到達距離D的二分之一，然後是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以無窮地劃分下去。因此，這個物體永遠也到達不了D。
解悖：這個悖論是通過割裂物質的無限性和有限性、運動的連續性和非連續性，用物質的無限性否認有限性、運動的連續性否認非連續性，把不可能的結論當做不可能的前提，屬於循環論證。
用對稱邏輯解“飛矢不動悖論”
飛矢不動悖論是古希臘數學家芝諾提出，箭在任何瞬間都是不動的，所以箭總是保持靜止。芝諾問他的學生：“一支射出的箭是動的還是不動的？” “那還用說，當然是動的。”“這支箭在每一個瞬間裡都有它的位置嗎？”“有的，老師。”“在這一瞬間裡，它占據的空間和它的體積一樣嗎？”“有確定的位置，又占據著和自身體積一樣大小的空間。”“那么，在這一瞬間裡，這支箭是動的，還是不動的？”“不動的，老師。”“這一瞬間是不動的，那么其他瞬間呢？”“也是不動的，老師。”“所以，射出去的箭是不動的？”
解悖：根據相對論，時間與空間是相對的。雖然在每一瞬間箭的空間和體積一樣，但是在不同的瞬間箭的位置——空間不一樣。由不同的瞬間（時間）組成的時間流和不同的位置（空間）移動組成的空間流，可以證明箭是運動的。“飛矢不動悖論”說明，運動和靜止是相對的，時間與空間是統一的。以微觀的空間為參照系，箭是不動的；以巨觀的空間為參照系，箭是動的。地球上靜止的物體，以地球為參照系是靜止的，以宇宙空間為參照系是運動的——我們每個人都是坐地日行八百里。“飛矢不動悖論”是由命題指稱對象的空間和命題指稱對象的時間的不對稱，使命題的內容和命題的對象不對稱造成的。在這裡對稱邏輯通過命題指稱對象的時間和空間對稱，使命題的內容和命題的對象對稱。
用對稱邏輯解價值悖論
解悖：建立完善的市場體系不是建立完全的價格體制，而是建立完全的價值體制。連線需求與供給的不是價格而是價值，不是交換價值而是使用價值。價格經濟學在微觀經濟領域只有近似的真理性，把其當作絕對真理就是大錯特錯；能夠成為絕對真理的，只能是價值經濟學。所謂價值經濟學，就是以價值機制代替價格機製作為市場的核心機制。價值經濟學中，產品的本質是使用價值。使用價值就是價值。使用價值的價格由使用價值的量決定，使用價值的量由稀缺度決定，稀缺度由供求關係決定，供求關係由主客體關係決定。在知識經濟時代，主客體關係由效益決定；而這裡的效益不是指利潤，而是指滿足人的需求程度。人的需求，既有物質需求，也有精神需求。因此，使用價值是實體、屬性、關係的統一。關係就是主體和客體的關係。用主客體關係定位價值的價值經濟學、建立在價值經濟學基礎上的邊際效益分析可以解決“價值悖論”。水雖然整體上是人類生存所必需的，水總體上對於人類有很高的價值，但由於水整體上不稀缺，所以某一部分的水價格不高；某一部分的水價格不高是由某一部分的水價值不高決定的，和水總體上對於人類有很高的價值並不衝突。但如果在特定環境下（比如沙漠），人快要渴死時，那么特定的水對於人的價值就很高，它的價值和這個快要渴死的人身價成正比，也即這個人的身價有多高，那么這部分水的價格就可以有多高。同樣，在正常環境下，因為鑽石比某部分水要稀缺得多，所以鑽石的使用價值要比某部分水大的多；此時鑽石的價格大於某部分水，就是此時鑽石的價值大於某部分水的反映。但如果在特定環境下（比如沙漠），人快要渴死時，那么鑽石的價值就遠遠不如水對於此人的價值，鑽石的價格也遠遠不如水的價格。這裡，整體的水和人類之間、一般環境下某部分水和某部分人之間、特殊環境下某部分水和某部分人之間、一般環境下鑽石和一般的人之間、特殊環境下鑽石和特殊的人之間的價值關係是不同的，由不同的價值決定不同的價格是正常的；由主客體具體關係形成的價值是具體的，水的價值是大是小、鑽石的價值是大是小，由此決定的價格孰大孰小必須具體問題具體分析；只要做到了具體問題具體分析，那么所謂的“價值悖論”就會被化解。這才是真正的超邊際分析——建立在價值經濟學基礎上的“超邊際效益分析”；而建立在客體和客體之間一般均衡與價格經濟學基礎上的所謂“超邊際分析”則不可能具體分析主客體之間的價值關係，所以也就無法化解上述“價值悖論”。“財富悖論”也一樣：如果這邊以滿足感作為衡量社會福利的水準，那邊以金錢作為衡量社會——福利的標準，那么就會出現“財富悖論”。“財富悖論”的根源在於“價格經濟學悖論”。如果以滿足感而不是以貨幣收入作為衡量社會福利水平的標準，那么就要用價值機製取代價格機製作為經濟學的核心機制，由此價格經濟學範式就要轉變。如果說，西方價格經濟學的範式要求邊際效率分析，那么幸福經濟學範式則要求邊際效益分析。特別是要建立經濟學帝國，要使經濟學成為充分利用生命的藝術，就只能用邊際效益分析代替邊際效率分析。 “價值悖論”、“財富悖論”的產生與化解說明，必須用價值經濟學代替價格經濟學作為經濟學的核心，用“邊際效益分析”代替“邊際效率分析”作為邊際分析的總體方法，把“邊際效率分析”納入“邊際效益分析”中，成為其中的一個環節。在不同的時期、不同的環境中用對稱方法具體問題具體分析主客體價值關係，那么隱藏在邊際效益規律背後的，是價值規律而不是價格規律。人的理性的多層次、滿意的多維度，價值的主體性、整體性與相對性說明，嚴格意義的邊際分析只能是價值分析，任何約束條件下的邊際分析都只能在價值經濟學範式框架中定位。價值大小可以比較難以量化，建立在價格經濟學範式基礎上的超邊際分析無論其數學模型多精緻完美，都只能和實際脫節，要么沒有意義要么必然被證偽。
悖論類型
古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。根據悖論形成的原因，把它歸納為六種類型，所記都是流傳很廣的常見悖論。隨著現代數學、邏輯學、物理學和天文學的快速發展，又有不少新的悖論大量湧現，人們在孜孜不倦地探索，預計他們的成果將極大地改變我們的思維觀念。它們分別是：
自指引發
以下諸例都存在著一個概念自指或自相關的問題：如果從肯定命題入手，就會得到它的否定命題；如果從否定命題入手，就會得到它的肯定命題。由概念自指引發的悖論和引進無限帶來的悖論。
謊言者悖論
公元前六世紀，哲學家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：“所有克利特人都說謊，他們中間的一個詩人這么說。”這就是這個著名悖論的來源。
《聖經》里曾經提到：“有克利特人中的一個本地中先知說：‘克利特人常說謊話，乃是惡獸，又饞又懶’”（《提多書》第一章）。可見這個悖論很出名，但是保羅對於它的邏輯解答並沒有興趣。
“我在說謊”
如果他在說謊，那么“我在說謊”就是一個謊，因此他說的是實話；但是如果這是實話，他又在說謊。矛盾不可避免。它的一個翻版：
“這句話是錯的”
這句話是錯的如果是事實，那么這句話就是對的，但是它是對的，就與所說的這句話是錯的事實（開始設定的）不符。這句話是錯的如果是假的，那么這句話就是對的，但這句話如果是對的，那么假設的這句話是錯的假的結論就被推翻，也矛盾了。這類悖論的一個標準形式是：如果事件A發生，則推導出非A，非A發生則推導出A，這是一個自相矛盾的無限邏輯循環。
哲學家羅素曾經認真地思考過這個悖論，並試圖找到解決的辦法。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》里說道：“自亞里士多德以來，無論哪一個學派的邏輯學家，從他們所公認的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的，但是指不出糾正的方法是什麼。在1903年的春季，其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。”
他說：謊言者悖論最簡單地勾畫出了他發現的那個矛盾：“那個說謊的人說：‘不論我說什麼都是假的’。事實上，這就是他所說的一句話，但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產生一個悖論。” （同上）
羅素試圖用命題分層的辦法來解決：“第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題；第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題；其餘仿此，以至無窮。”但是這一方法並沒有取得成效。“1903年和1904年這一整個時期，我差不多完全是致力於這一件事，但是毫不成功。”（同上）
《數學原理》嘗試整個純粹的數學是在純邏輯的前提下推導出來的，並且使用邏輯術語說明概念，迴避自然語言的歧意。但是他在書的序言裡稱這是：“發表一本包含那么許多未曾解決的爭論的書。”可見，從數學基礎的邏輯上徹底地解決這個悖論並不容易。
接下來他指出，在一切邏輯的悖論里都有一種“反身的自指”，就是說，“它包含講那個總體的某種東西，而這種東西又是總體中的一份子。”這一觀點比較容易理解，如果這個悖論是克利特以外的什麼人說的，悖論就會自動消除。但是在集合論里，問題並不這么簡單。
理髮師悖論
在薩維爾村，理髮師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理髮的人理髮。”有人問他：“你給不給自己理髮？”理髮師頓時無言以對。
這是一個矛盾推理：如果理髮師不給自己理髮，他就屬於招牌上的那一類人。有言在先，他應該給自己理髮。 反之，如果這個理髮師給他自己理髮，根據招牌所言，他只給村中不給自己理髮的人理髮，他不能給自己理髮。
集合論悖論
“R是所有不包含自身的集合的集合。”
人們同樣會問：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定義，R應屬於R。如果R包含自身的話，R又不屬於R。
繼羅素的集合論悖論發現了數學基礎有問題以後，1931年歌德爾（Kurt Godel ，1906－1978，捷克人）提出了一個“不完全定理”，打破了十九世紀末數學家“所有的數學體系都可以由邏輯推導出來”的理想。這個定理指出：任何公設系統都不是完備的，其中必然存在著既不能被肯定也不能被否定的命題。例如，歐氏幾何中的“平行線公理”，對它的否定產生了幾種非歐幾何；羅素悖論也表明集合論公理體系不完備。
書目悖論
一個圖書館編纂了一本書名詞典，它列出且只列出這個圖書館裡所有不列出自己書名的書。那么它列不列出自己的書名？
這個悖論與理髮師悖論基本一致。
蘇格拉底悖論
有“西方孔子”之稱的雅典人蘇格拉底（Socrates，公元前470－前399）是古希臘的大哲學家，曾經與普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名詭辯家相對。他建立 “定義”以對付詭辯派混淆的修辭，從而勘落了百家的雜說。但是他的道德觀念不為希臘人所容，竟在七十歲的時候被當作詭辯雜說的代表。在普洛特哥拉斯被驅逐、書被焚十二年以後，蘇格拉底也被處以死刑，但是他的學說得到了柏拉圖和亞里士多德的繼承。
蘇格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什麼都不知道。”
這是一個悖論，我們無法從這句話中推論出蘇格拉底是否對這件事本身也不知道。古代中國也有一個類似的例子：
“言盡悖”
這是《莊子·齊物論》里莊子說的。後期墨家反駁道：如果“言盡悖”，莊子的這個言難道就不悖嗎？我們常說：
“世界上沒有絕對的真理”
我們不知道這句話本身是不是“絕對的真理”。
柏拉圖-蘇格拉底悖論
柏拉圖（Platon，Πλάτων， 約前427年－前347年），古希臘偉大的哲學家，也是全部西方哲學乃至整個西方文化最偉大的哲學家和思想家之一，他和老師蘇格拉底，學生亞里士多德並稱為古希臘三大哲學家。
柏拉圖說：“蘇格拉底的下句話是錯誤的”。
蘇格拉底說：“柏拉圖說得對。”
不論你假定哪個句子是真的，另一個句子都會與之矛盾。兩個句子都不是自我詮釋，但作為一個整體，同樣構成了說謊者悖論。
“荒謬的真實”
有字典給悖論下定義，說它是“荒謬的真實”，而這種矛盾修飾本身也是一種“壓縮的悖論”。悖論（paradox）來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。
這些例子都說明，在邏輯上它們都無法擺脫概念自指所帶來的惡性循環。有沒有進一步的解決辦法？在下面一節的最後一部份還將繼續探討。
引進無限
《墨子·經說下》中有一句話：“南方有窮，則可盡；無窮，則不可盡。”如果在有限中引進無限，就可能引起悖論。
阿基里斯悖論
阿基里斯（Achilles）是希臘神話中善跑的英雄。芝諾講：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領先於他的烏龜，因為當他要到達烏龜出發的那一點，烏龜又向前爬動了。阿基里斯和烏龜的距離可以無限地縮小，但永遠追不上烏龜。
方勵之先生曾經用物理語言描述過這個問題：在阿基里斯悖論中使用了兩種不同的時間度量。一般度量方法是：假設阿基里斯與烏龜在開始時的距離為S，速度分別為V1和V2。當時間T=S/（V1－V2）時，阿基里斯就趕上了烏龜。
但是芝諾的測量方法不同：阿基里斯將逐次到達烏龜在前一次的出發點，這個時間為T'。對於任何T'，可能無限縮短，但阿基里斯永遠在烏龜的後面。關鍵是這個T'無法度量T=S/（V1－V2）以後的時間。
二分法悖論
這也是芝諾提出的一個悖論：當一個物體行進一段距離到達D，它必須首先到達距離D的二分之一，然後是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以無窮地劃分下去。因此，這個物體永遠也到達不了D。
這些結論在實踐中不存在，但是在邏輯上無可挑剔。
芝諾甚至認為：“不可能有從一地到另一地的運動，因為如果有這樣的運動，就會有‘完善的無限’，而這是不可能的。”如果阿基里斯事實上在T時追上了烏龜，那么，“這是一種不合邏輯的現象，因而決不是真理，而僅僅是一種欺騙”。這就是說感官是不可靠的，沒有邏輯可靠。
他認為：“窮盡無限是絕對不可能的”。根據這個運動理論，芝諾還提出了一個類似的運動佯謬：
“飛矢不動”
在芝諾看來，由於飛箭在其飛行的每個瞬間都有一個瞬時的位置，它在這個位置上和不動沒有什麼區別。那么，無限個靜止位置的總和就等於運動了嗎？或者無限重複的靜止就是運動？中國古代也有類似的說法，如：
這是《莊子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中國古人同樣運用了無限的概念。
惠施的學說強調萬物的共相，因而事物之間的差異只是一種相對的概念，現存與惠施有關的奇怪命題，例如，“山與澤平”、“卵有毛”、“雞三足”、“犬可以為牛”、“火不熱”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤駒未嘗有母”等，都可以說是悖論，但是大部份沒有留下具體的爭辯過程。惠施的悖論在西方也很有影響。
毛澤東從辯證法的角度基本接受惠施無限可分的觀點。一九六四年八月十八日，他同哲學工作者談話時說：“列寧講過，凡事可分。舉原子為例，不但原子可分，電子也可分。”又說：“電子本身到現在還沒有分裂，總有一天能分裂的。‘一尺之捶，日取其半，萬世不竭’，這是個真理。不信，就試試看。如果有竭就沒有科學了。”
“點一樣多？”
“1厘米線段內的點與太平洋面上的點一樣多”
多少哲學家、數學家都唯恐陷入悖論而退避三舍。二十三歲獲博士學位的德國數學家康托爾（1845－1918）六年以後向無窮宣戰。他成功地證明了：一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應。由於無限，1厘米長的線段內的點，與太平洋面上的點，以及整個地球內部的點都“一樣多”。
然而，康托爾的“無窮集合”與傳統的數學觀念發生衝突，遭到謾罵。直到一八九七年第一次國際數學家會議，他的成果才得到承認，幾乎全部數學都以集合論為基礎。羅素稱讚他的工作“可能是這個時代所能誇耀的最巨大的工作。”
同時，集合論中也出現了一些自相矛盾的現象，尤其是羅素的理髮師悖論，以極為簡明的形式震撼了數學的基礎，這就是“第三次數學危機”。此後，數學家們進行了不懈地探討。
