量子諧振子

一維諧振子

哈密頓算符與能量本徵態

在一維諧振子問題中，一個質量為m的粒子，受到一位勢

。此粒子的哈密頓算符為

其中x為位置算符，而p為動量算符

。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的勢能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，必須解所謂的“定態薛丁格方程”：

在坐標基底下可以解這個微分方程，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：

最先六個解（n= 0到5）展示在右圖。函式

為埃爾米特多項式：

注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作H。相應的能階為

值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被“量子化”（quantized），而只能有離散的值——即

乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的“階梯算符”段落，將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當n= 0）不為零，而是

，被稱為“基態能量”或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的“零振動”（null oscillations）且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那么顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子引力。最後一個理由式能階值是等距的，不像玻爾模型或盒中粒子問題那樣。

注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在“經典轉向點”（classical turning points），其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與經典諧振子相一致；經典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。