量子諧振子

在量子力學里，量子諧振子（英語：quantum harmonic oscillator）是經典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者，因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外，其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。

基本介紹

  • 中文名：量子諧振子
  • 外文名：quantum harmonic oscillator
  • 領域：量子力學
一維諧振子,哈密頓算符與能量本徵態,階梯算符方法,自然長度與能量尺度,案例：雙原子分子,N維諧振子,耦合諧振子,參閱,

一維諧振子

哈密頓算符與能量本徵態

在一維諧振子問題中，一個質量為m的粒子，受到一位勢
。此粒子的哈密頓算符為
圖1.能量最低的六個束縛本徵態的波函式表征圖1.能量最低的六個束縛本徵態的波函式表征
其中x為位置算符，而p為動量算符
。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的勢能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，必須解所謂的“定態薛丁格方程”：
在坐標基底下可以解這個微分方程，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：
最先六個解（n= 0到5）展示在右圖。函式
為埃爾米特多項式：
注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作H。相應的能階為
值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被“量子化”（quantized），而只能有離散的值——即
乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的“階梯算符”段落，將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當n= 0）不為零，而是
，被稱為“基態能量”或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的“零振動”（null oscillations）且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那么顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子引力。最後一個理由式能階值是等距的，不像玻爾模型或盒中粒子問題那樣。
注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在“經典轉向點”（classical turning points），其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與經典諧振子相一致；經典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。

階梯算符方法

前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克，允許抽像求得能量本徵值，而不用直接解微分方程。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在量子場論中。跟從此方法，定義算符a與其伴隨算符（adjoint）a：
算符a並非厄米算符（Hermitian），以其與伴隨算符a並不相同。
算符a與a有如下性質：
在推導a形式的過程中，已用到算符x與p（代表可觀測量）為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合：
x與p算符遵守下面的等式，稱之為正則對易關係：
方程中的方括弧是常用的標記機器，稱為交換子、交換算符或對易算符，其定義為
利用上面關係，可以證明如下等式：
現在，讓
代表帶有能量E的能量本徵態。任何右括矢量（ket）與自身的內積必須是非負值，因此
將aa以哈密頓算符表示：
因此
。注意到當（
）為零右括矢量（亦即：長度為零的右括矢量），則不等式飽和而
。很直觀地，可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態（n= 0）。
利用上面等式，可以指出a及a與H的對易關係：
因此要是（
）並非零右括矢量，
類似地，也可以指出
換句話說，a作用在能量為E的本徵態，而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為
的本徵態，而a作用在能量為E的本徵態，產生出另一個能量為
的本徵態。因為這樣，a稱作降算符而a稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中，a與a也分別稱作消滅算符與創生算符，以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。
給定任何能量本徵態，可以拿降算符a作用在其上，產生了另一個能量少了
的本徵態。重複使用降算符，似乎可以產生能量本徵態其能量低到E= −∞。不過這樣就就與早先的要求
相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態——基態，標示作
（勿與零右括矢量混淆），使得
（即a對
作用後產生零右括矢量（zero ket））。
在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括矢量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，還指出了
最後，透過將升算符作用在
上，並且乘上適當的歸一化因子，可以產生出一個能量本徵態的無限集合
使得
這與前段所給的能譜相符合。
這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函式。只要將消滅算符作用於基態，
變為
所以
這個方程的解為，經過歸一化，

自然長度與能量尺度

量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過無量綱化來得到。結果是如果以
為單位來測量能量，以及
為單位來測量距離，則薛丁格方程變成：
且能量本徵態與本徵值變成
為了避免混淆，在此文中不採用這些自然單位。不過，這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。

案例：雙原子分子

主條目：雙原子分子
在雙原子分子中，自然頻率可以發現為：
其中
為角頻率，k是共價鍵勁度係數，
是約化質量。

N維諧振子

一維諧振子很容易地推廣到N維。在一維中，粒子的位置是由單一坐標x來指定的。在N維中，這由N個位置坐標所取代，以
標示。對應每個位置坐標有個動量，標示為p1, ...,pN。這些算符之間的正則對易關係為
系統的哈密頓算符為
從這個哈密頓量的形式，可以發覺，N維諧振子明確地可比擬為N個質量相同，彈性常數相同，獨立的一維諧振子。在這案例里，變數
是N個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性，允許位勢被分離為N個項目，每一個項目只跟一個位置坐標有關。
這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數
，一個N維諧振子的能量本徵函式
等於N個一維本徵函式
的乘積：
採用階梯算符方法，定義N組階梯算符：
類似前面所述的一維諧振子案例，可以證明每一個
與
算符將能量分別降低或升高
。哈密頓量是
這量子系統的能階E是
其中，正整數
是
的量子數。
如同一維案例，能量是量子化的。N維基態能階是一維基態能階的N倍。只有一點不同，在一維案例里，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在N維案例里，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態。
簡併度可以很容易地計算出來。例如，思考三維案例，設定
。每一個N相同的量子態，都會擁有相同的能量。給予N，首先選擇一個
。那么，
，有
個值，從0到
，可以選擇為
的值。
的值自動的設定為
。因此，簡併度是
對於N維案例，

耦合諧振子

構想N個相同質量的質點，以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為
（也就是說，假若一個質點k位於其平衡點，則
）。整個系統的哈密頓量是
其中，
。
很奇妙地，這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子，每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質，稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固體物理學里，這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。

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