球對稱位勢

球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙相互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學里，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。

基本介紹

• 中文名：球對稱位勢
• 外文名：Particle in a spherically symmetric potential
• 領域：量子力學

簡介

球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙相互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學里，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程表達為

其中， 是普朗克常數， 是粒子的質量， 是粒子的波函式，V是位勢，r是徑向距離，E是能量。

由於球對稱位勢V(r)只與徑向距離有關，與天頂角 、方位角 無關，為了便利分析，可以採用球坐標 來表達這問題的薛丁格方程。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程分為兩部分，徑向部分與角部分。

薛丁格方程

採用球坐標 ，將拉普拉斯運算元 展開：

滿足薛丁格方程的本徵函式 的形式為：

其中， ， ， ，都是函式。 與 時常會合併為一個函式，稱為球諧函式， 。這樣，本徵函式 的形式變為：

角部分解答

參數為天頂角 、方位角 的球諧函式 ，滿足角部分方程

其中，非負整數 是角動量的角量子數。m（滿足 ）是角動量對於z-軸的（量子化的）投影。不同的與m給予不同的球諧函式解答 ：

其中，i是虛數單位， 是伴隨勒讓德多項式，用方程定義為

而 是 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為

徑向部分解答

將角部分解答代入薛丁格方程，則可得到一個一維的二階微分方程：

設定函式。代入方程(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到

徑向方程變為

其中，有效位勢。

這正是函式為，有效位勢為的薛丁格方程。徑向距離r的定義域是從0到。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。

參閱

• 自由粒子
  
• 無限深方形阱
  
• 有限深方形阱
  
• 有限位勢壘
  
• Delta位勢阱
  
• Delta位勢壘
  
• 有心力