埃爾米特多項式

在數學中，埃爾米特多項式是一種經典的正交多項式族，得名於法國數學家夏爾·埃爾米特。機率論里的埃奇沃斯級數的表達式中就要用到埃爾米特多項式。在組合數學中，埃爾米特多項式是阿佩爾方程的解。物理學中，埃爾米特多項式給出了量子諧振子的本徵態。

基本介紹

• 中文名：埃爾米特多項式
• 外文名：Hermite polynomial
• 分類：計算機
• 類別：正交多項式
• 創始人：夏爾·埃爾米特
• 套用：數學 物理學

定義

埃爾米特多項式有兩種常見定義。

第一種是機率論中較為常用的形式（又記作： ）：

另一種是物理學中較為常用的形式（又記作： ）：

這兩種定義並不是完全等價的。它們之間的關係是：

機率論中常用第一種定義，因為 是標準常態分配函式（數學期望等於0，標準差等於1）的機率密度函式。

前六個（物理學中的）埃爾米特多項式的圖像。

前六個機率學和物理學中的埃爾米特多項式

序號	機率學	物理學

性質

多項式H_n是一個n次的多項式。機率論的埃爾米特多項式是首一多項式（最高次項係數等於1），而物理學的埃爾米特多項式的最高次項係數等於2。

正交性

多項式H_n的次數與序號n相同，所以不同的埃爾米特多項式的次數不一樣。對於給定的權函式w，埃爾米特多項式的序列將會是正交序列。

（機率論）

（物理學）

也就是說，當m≠n時：

除此之外，還有：

（機率論）

（物理學）

其中是克羅內克函式。

從上式可以看到，機率論中的埃爾米特多項式與標準常態分配正交。

完備性

在所有滿足

的函式所構成的完備空間中，埃爾米特多項式序列構成一組基。其中的內積定義如下：

微分方程

機率論中的埃爾米特多項式是以下微分方程的解:

方程的的邊界條件為：u應在無窮遠處有界。

其中是這個方程的本徵值，是一個常數。要滿足上述邊界條件，應取∈。對於一個特定的本徵值，對應著一個特定的本徵函式解，即。

而物理學中的埃爾米特多項式則是以下微分方程的解:

其本徵值同樣為∈，對應的本徵函式解為。

以上兩個微分方程都稱為埃爾米特方程。