基本介紹
- 中文名：選擇公理
- 外文名：Axiom of Choice
- 領域：數學
- 套用：集合論公理
- 簡稱：AC
公理介紹,定義,簡單描述,變體,相關術語,舉例說明,數學化例子,實在例子,沒有答案,爭議,嘗試證明,良序定理,佐恩引理,等價命題,爭論,沒有結論,
公理介紹
非正式地說，選擇公理聲明：給定一些盒子（可以是無限個），每個盒子中都含有至少一個小球，那么可以作出這樣一種選擇，使得可從每個盒子中恰好選出一個小球。在很多情況下這樣的選擇可不藉助選擇公理；尤其是在“盒子個數有限”和“存在具體的選擇規則”（當每個盒子都恰好只有一個小球具有某項特徵）這兩種情況下。再舉一個例子，假設有許多（甚至是無限）雙鞋子，則我們可以選取每雙鞋左邊的鞋子構成一個具體的選擇。然而，假設有無限雙襪子（假設每雙襪子都沒有可區分的特徵），在這種情況下，有效的選擇只能通過選擇公理得到。
儘管曾具有爭議性，選擇公理現在已被大多數數學家毫無保留地使用著，例如帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）。數學家們使用選擇公理的原因是，有許多被普遍接受的數學定理，比如是吉洪諾夫定理，都需要選擇公理來證明。現代的集合論學家也研究與選擇公理相矛盾的公理，例如決定公理。
在一些構造性數學的理論中會避免選擇公理的使用，不過也有的將選擇公理包括在內。
定義
首先定義幾個概念：
1）集族：指由非空集合組成的集合。
那么，選擇公理表示：
- 對於所有的集族，均存在選擇函式。
上述可表示為：
設X是一個集族，則存在著在X上定義的一個選擇函式f。
該定理也可表達為：集族上的任意笛卡爾積總是非空的。
簡單描述
選擇公理有很多等價的形式（equivalent form），以下用一個較簡單的描述：
選擇公理：
變體
1.第二個版本的選擇公理聲稱：
給定由相互不交的非空集合組成的任何集合，存在著至少一個集合，它與每個非空集合恰好有一個公共元素。
2.第三個版本聲稱：
使用這個版本的作者通常談及“在A上的選擇函式”，但要注意這裡選擇函式的概念是稍微不同的。它的定義域是A的冪集（減去空集），因此對任何集合A有意義；至於本文中其他地方用的定義，在“集合的蒐集”上的選擇函式的定義域是這個蒐集，所以只對集合的集合有意義。
透過這個變體的定義，選擇公理也可以簡潔的陳述為：所有集合有一個選擇函式。它等價於對於任何集合A有一個函式使得對於A的任何非空子集B，
。
而選擇公理的否定表達為：有一個集合A使得對於所有函式f（在A的非空子集的集合上），有一個B使得
。
相關術語
以下列出了這篇條目中各種與選擇公理相關的縮寫：
1）AC： 選擇公理。
2）ZF：策梅洛-弗蘭克爾集合論，不包括選擇公理。
3）ZFC：策梅洛-弗蘭克爾集合論，包括選擇公理。
舉例說明
為令讀者有進一步的了解，以下是一些例子：
數學化例子
2a. 如果C為所有長度有限而非零的實數區間的集合，那么，我們可以定義一個新集合，使得它的元素為每一個C中的區間的中間點和所在區間配成的有序對。
實在例子
看來也算是合理，但以上的例可能較數學化、較難理解，現在再用個較實在的例子，
3a. 如果在前面放了放置了幾堆蘋果。那么，我們可以在每堆中選取一個蘋果，再把它們放在新的一堆內。
看了這個例子，可能令你更加明白，不過要留意的是所謂“幾堆”，可能是無限堆，而每堆蘋果也可能是有無限個的，那么，可以換成
3b. 如果在前面放了放置了無限堆蘋果，而每堆蘋果也有無限個。那么，我們可以在每堆中選取一個蘋果，再把它們放在新的一堆內。
這個便是“選擇公理”。看來也很合理，既然每一堆也是有蘋果的，當然可以在每一堆中選擇一個蘋果出來，不論每堆的蘋果數目的多少，和堆數的多少，“應該”也能做到。
但在這堆蘋果中，究竟選擇那一個呢？或許有人會說：“隨便一個便可！”但什麼是“隨便”呢？可否具體點陳述出來呢？這個“隨便”的方法是否必然存在呢？
2b. 如果C為所有長度非零的實數區間，那么，我們可以定義一個新集合，使得它的元素為每一個C中的區間中的點和所在區間配成的有序對。
如果仔細的看2b，“每一個C中的區間中的點”，哪一點呢？最大的那一點？最小的那一點？中間的那一點？通通也不存在，因為“長度非零的實數區間”是包括了長度無限的區間，那便可能沒有了所謂“最大”、“最小”或“中間”等概念。那么，如何具體地陳述出方法呢？這個方法會不會不存在呢？
這個問題可能還是可以回答的，只是要複雜一些，將集合分為3類：有限的取中間點，一面無限的取另一面的邊界+1或-1，而(-∞，+∞)中取0。
沒有答案
然而下面的問題就確實無法給出答案：
可能有人認為，即使是不能陳述出方法，也不能因此就否定或放棄這公理，因為在數學上有很多“存在性定理”（Existence Theorems），都是只指出某事件的存在性，而不具體描述尋求的方法，例如：中值定理（Mean Value Theorem）及洛爾定理（Rolle's Theorem），都是已證明是正確的存在性定理，所以只要能證明這公理是正確，便可以繼續使用。
另外，不能具體陳述出方法，也有可能是括限於人類在語言上的障礙，也即是說，只是不能用人類的語言表達而已，正如最偉大的文學家，也只是用他們認為最適當的語句來表達，可能受到語言限制，不能完全反映他們內心的思想，正所謂“不能言喻”。
爭議
嘗試證明
但“選擇公理”當然不是這般簡單，它的不可思議，它的奇妙用法，以及它所導致的結果，到現在才是開始。
要證明選擇公理，並非一件容易的事，其中一個原因是選擇公理不單是一條簡單的數學命題，而是牽涉較基層的數學──集合論。而集合論正就是數學的基礎理論，所以在證明時，工具也會較少。
不少的數學家也曾嘗試證明選擇公理，他們希望用最基本的工具來作證明，但往往在這些證明中，都用了一些並不基本的理論，例如：“良序定理”（Well-ordering Theorem）及“佐恩引理”（Zorn's Lemma），
良序定理
佐恩引理
若一偏序集是歸納序集，那么，它必然存在最大元素。換句話說，如果在一個偏序集的每一條鏈在原來的偏序集中都存在著上界，這偏序集必存在最大元素。
等價命題
更有趣的結果是原來“選擇公理”、“良序原理”及“佐恩引理”都是等價的命題，也就是說它們是在描述同一樣的事件。多年以來，所發現的“選擇公理”的等價命題實在不少，網主並沒有統計過，某些的書籍可寫出約30個等價命題，網主亦蒐集了部分等價命題（英文版）可供網友參考，而人類只是在這些命題與命題間兜兜轉轉。
爭論
由此可知，要在數學上證明或否證“選擇公理”並非易事，所以數學家便轉移目標，從邏輯系統中看看它的相容性。而事實上，經證明所得，現在我們常用的ZF公理系統與“選擇公理”是相容的，也就是說用ZF公理系統不能得出“選擇公理”的邏輯矛盾。如果我們選擇接納“選擇公理”，則便有一套包含“選擇公理”的公理系統，一般稱“ZFC公理系統”；否則，便不接納它在公理系統之內，在能把它證明之前，也不能接受它是一“定理”。
不過，這個爭論依然未完，因為對於這條公理不只是接納和不接納的問題，如果放棄這條公理，有很多美好且乎合“常理”的結果會同時被放棄；但它實際上又與很多“常理”大不協調。
這其實也是牽涉另一個數學概念──可測集合（Measurable Set）。“巴拿赫─塔斯基悖論”便是存在不可測集合的結果。如果我們接納“選擇公理”，則我們必須接納不可測集合。若我們不接納“選擇公理”，則可設所有集合皆是“勒貝格可測的”（Lebesgue Measurable），而這個假設也可能是較合乎常理。
但是，如果放棄選擇公理，也會有一些很不合常理的情況出現。這些情況取決於選定的不符合選擇公理的模型。如在Cohen模型中，存在一個函式，它在一點x0處是不連續的，但對於任何極限為x0的數列{an}，{bn=f(an)}的極限都是f(x0)。換句話說，用任何逼近x0的數列時，函式值都能逼近f(x0)，而這恰恰是“連續性”的體現。有些模型更是否定“二元可數選擇公理”（可數個二元集合上選擇公理成立），而這條公理等價於“可數個不交二元集的並集可數”！
沒有結論
總而言之，“選擇公理”是一條十分爭議性的命題，一般的數學家都接受這條公理，因為可以從而得出很多有用的結果，反正使用這公理是沒有邏輯矛盾的。但對於邏輯家或集合論家來說，這是一個必須解決的問題，有些人會建議用較弱的“可數選擇公理”（Countable Choice）來代替，而確實有很多結果是可以利用可數選擇公理來證明的，不過這樣只是暫時迴避問題，而且依然有些結果是必須用到“選擇公理”的。
著名哲學家兼數學家羅素（Bertrand Russell）曾說過：“由無限雙襪子中，每雙選擇一隻出來的話，我們需要‘選擇公理’，但如果換成是鞋的話，那便不必了。”因為鞋是可以分左右的，襪子則兩隻沒什麼分別，不知如何選擇。另外，如果只有有限雙襪子，在邏輯上是可以不用“選擇公理”的。
邦拿（Jerry Bona）也曾說過：“‘選擇公理’明顯是正確的；‘良序原理’明顯是不正確的；‘佐恩引理’又有誰可決定呢？”這雖然是一個笑話，但從此可知道人的直覺並不一定跟從數學的思維。在數學上，這三個命題是等價的，但對於“選擇公理”，很多數學家都直覺它是正確的；對於“良序原理”，很多數學家都認為存在問題；“佐恩引理”則複雜得很多數學家也不能單憑直覺作判斷。
“選擇公理”確是一條謎樣的公理，雖然看似十分淺顯，但卻有奇妙的功能，甚至有超乎常理的結果。有些人對它投以信任一票，有些人則抱懷疑態度。有關這條公理的討論和研究，相信還會繼續，那便看看數學家如何把它解決。最後，網主用羅素的一句話作結束，他在談及“選擇公理”時曾說：
“起先它似乎是明白的；但你愈多思考它，由這公理得出的推論就好像變得愈奇怪；最後你完全不明白它的意思到底是甚么了。”
