集族是一種特殊的集合，以集合為元素的集合稱為集族。例如，集A的冪集P(A)是一個集族，P(P(A))，P(P(P(A))都是集族。又例如，由空集φ、集合A={1，2，3}作為元素的集合M={φ，A}是一個集族。 注意，由空集φ作為元素的集合是一個集族，它已不是空集，即A={φ}，它不同於{ }。在這裡，A= {φ}是具有一個元素的集合，是單元素集。集族常用花體字母A，B，C等表示，取A為標號集，A到集族A的一一對應(雙射)為f:a→Aa，則集族A可記為{Aa|a∈A}或{Aa}a∈A。當A為線性序集{…,a,…,b,…,c,…}時，集族{…,Aa,…,Ab,…,Ac,…}稱為集列。
基本介紹
- 中文名：集族
- 外文名：family of sets
- 定義：以集合為元素的集合
- 常用集族：環、半環、代數、σ-代數等
定義,幾種常用集族,半環,環,代數,σ-代數,
定義
集族（family of sets）是由具有某種性質的一些集合所構成的集合，即“集合的集合”。例如，平面上的圓盤是集合，因此平面上一切圓盤所成的集合就是一個集族。又如一個集合的一切子集所構成的集合也是一個集族。
集族是以集合為元素構成的集合。集族常用花體字母表示，這裡我們使用
來表示集族。集合之間關係的定義和運算規律同樣適用於集族。如
為集族
的可列並，
。
幾種常用集族
下面我們介紹幾種常用的集族。
集族類別 | 等價定義 | 對運算的特性 |
半環 | 對交封閉，差為有限不相交並 | |
環 | 對“U”“\”封閉 對“U”“△”封閉 對“∩”“△”封閉 對“∩”，不相交並，包含差封閉 | 對一切有限 運算封閉 |
代數 | 含X的環 對“U” 余“ ' ’”封閉 對“∩” 余“ ' ’”封閉 | 含X且對一切有 限運算封閉 |
σ-代數 | 對  為代數且對遞增集序列並封閉 | 含X且對一切可 列運算封閉 |
半環
定義1 設
為一集族，且滿足下列三個條件。
1) 
2) 若
，則
3) 若 且
則
顯然若 為半環，那么 中任二元素A，B之差
必能表為 中有限個兩兩不相交的集之並。
們把集
例2 設Rn 為n維實數空間(即n維歐幾里得空間)，又設
Rn 中全體半開閉區間構成一個半環。
例3 設X為任意集，用
(X)表示X中全體子集組成的集族，則 (X)為半環，只含
集的集族{ }亦是一個半環。
例4 設X為任意集，X中全體單點集連同 集構成一個半環。
環
例3中的集族也是環。
例5 設X是無窮集，則由X中一切有限子集組成的集族是環。
容易證明，凡環必是半環，反之半環不一定是環．上面例1，例2及例4中的集族均是半環，但它們都不是環。
定理1 設
為不空集族，則下列1) 2) 3)都是使 為環的充要條件：
1) 若
，則
，
；
2) 若 ，則
， ；
3) 若 ，則 ，
若 且
，則 ，
若 且
，則
。
推論1 若 為環，則
且 對有限個集之並，交及兩集之差，對稱差運算封閉。
代數
定義3 含X的環稱為代數，由定理1的推論及
顯然例3中的集族 (X)是代數。
倒6 設X是無窮集，X中全體有限子集及余集是有限集的集所組成的集族是一個代數。
顯然代數是環，反之環未必是代數，而且若 是環，那么由X和 中的集組成的集族也未必是代數．事實上例5中的集族是環但非代數，而且該集族增添元素X後所得的集族也不是一個代數，因為它對余運算不封閉。
定理2 設
為不空集族，則下列命題等價：
1) 含X的環；
2) 對並及余運算封閉，即若
，則
，
；
3) 對交及余運算封閉，即若
，則
，
。
σ-代數
定義4假設
是Ω上的非空集族，如果：
(1)
；
(2)它對於補運算封閉，即
，有
；
(3)它對於可列並運算封閉，即
有
。
則稱 是Ω上的
(西格瑪)-代數(algebra)或者域(field)。
例7由 Ω和
兩個集合組成的集族是 -代數。因為它們的補和可列並運算結果仍然是Ω和 。
(2)假設A是Ω的非空子集，
是任一包含A的-代數，那么
稱為包含A的最小 -代數，有時也稱為由A生成的-代數。
(3)設Ω是全體實數R，令
是R中一切開區間(
)生成的 -代數(一切閉區間也可以)，稱為R中的波雷耳(Borel) -代數，記為 (R)， 中的元素(集合)稱為R中的波雷耳集。
