ZF公理系統

ZF公理系統,提出者是Cantor、策梅洛,適用領域範圍:集合論。在集合論創建的初期,Cantor是以所謂“樸素”的觀點來看待集合的,他建立了廣泛而深刻的集合理論,但是他沒有明確對於已知集合,哪些操作是合法的。為了填補Cantor在理論基礎上的不足,1908年策梅洛(Zermelo)提出了比較完整的公理,這些公理指明了對集合的哪些操作是合法的。後經過弗蘭克爾(Fraenkel)的完善和補充,形成了ZF公理系統。

基本介紹

  • 中文名:ZF公理系統
  • 別稱:公理化集合論
  • 提出者:Cantor、策梅洛
  • 提出時間:1908年
  • 套用學科:集合
  • 適用領域範圍集合論
公理化集合論,說明及套用,

公理化集合論

(1)外延公理(容積公理):一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有的元素相同,則它們是相等的。
(2)分離公理模式“對任意集合X和任意對X的元素有定義的邏輯謂詞P(z),存在集合Y,使z∈Y 若且唯若z∈X而且P(z)為真”
也就是說:若X是一個集合,那么可以斷定,Y={x∈X|P(x)}也是一個集合。
(3)配對公理:對任意a和b是對象,則存在一個集合{a,b},其僅有的元素是a和b。也就是說:我們可以用一個集合Z={X,Y}來表示任給的兩個集合X,Y,稱之為X與Y的無序對。
(4)並集公理任給一族M,存在UM(稱為M的並)它的元素恰好為M中所含元素的元素。也就是說:我們可以把族M的元素的元素匯集到一起,組成一個新集合。
註:為了方便描述,定義族表示其元素全為集合的集合。
(5)冪集公理(子集之集公理):對任意集合X,存在集合P(X),它的元素恰好就是X的一切子集。也就是說:存在以已知集合的一切子集為元素的集合。
(6)無窮公理:存在歸納集。(存在一個集合,空集是其元素,且對其任意元素x,x+=x∪{x}也是其元素)
也就是說,存在一集合x,它有無窮多元素。
(7)替換公理模式(置換公理):也就是說,對於任意的函式F(x),對於任意的集合T,當x屬於T時,F(x)都有定義(ZF中唯一的對象是集合,所以F(x)必然是集合)成立的前提下,就一定存在一集合S,使得對於所有的x屬於T,在集合S中都有一元素y,使y=F(x)。也就是說,由F(x)所定義的函式的定義域在T中的時候,那么它的值域可限定在S中。
(8)正則公理也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質,例如,不允許出現x屬於x的情況。
準確的定義:“對任意非空集合x,x至少有一元素y使x∩y為空集。”
以上8條公理組成了ZF公理系統,再加上選擇公理,則組成了ZFC公理系統
(9)選擇公理:也叫策梅洛公理,對於任意兩兩不交的集合族,存在集合C,使對所給的族中的每個集合X,集合X與C的交恰好只含一個元素。

說明及套用

公理1~8組成了ZF集合論公理系統,即著名的ZF公理體系。9作為與前8個獨立的公理,在數學分析中經常用到。
公理1,2可以推出任何集合X有空子集,且空集唯一。
通過公理3,可以定義有序對(X,Y):={{X,X},{X,Y}}。
公理1~5可以限制新集合形成的可能,從而消除羅素悖論中的集合(存在集合A滿足A不包含於自己)。
公理6,連同1~4,按照馮諾依曼的提出(根據皮亞諾公理系統對自然數的描述)可以建立自然書數集N0的標準模型。
公理7在建立分析學時並不使用之。
公理8與羅素悖論
羅素悖論實際上構造了一個真類,而根據正則公理,真類被排除在ZF集合論的公理體系之外。也就是說,正則公理並沒有真正解決羅素悖論,只是限制了數學所討論的集合(更恰當的說法是或是蒐集)的範圍,從而避開了羅素悖論。這是目前數學家們所找到的最好的解決辦法:通過正則公理排除所有已知的矛盾。
注意正則公理並沒有否定羅素悖論,因為如果通過其他公理能夠構造出該悖論中的集合,那么仍然是矛盾。實際上不用正則公理,羅素已經替我們證明了這個集合是不存在的。

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