基本介紹
- 中文名：覆蓋維數
- 外文名：cover dimension
- 領域：數學
- 定義：拓撲空間的一種維數
- 空間：吉洪諾夫空間
- 別稱：切赫-勒貝格維數
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概念
覆蓋維數(covering dimension)是拓撲空間的一種維數。首先定義一個集族階的概念。設A是集合X的子集族。若A中存在具有非空交的n+1個集合，則上述n的最大值稱為A的階；若上述n的最大值不存在，則稱A的階為∞。設X為吉洪諾夫空間，n表示大於或等於-1的整數。則：
1.當X的任意有限的函式開覆蓋都具有階數不超過n的有限的函式開加細時，規定dim X≤n。
2.當dim X≤n，並且dim X≤n-1不成立時，規定dim X=n。
3.當對於任意自然數n，dim X≤n皆不成立時，規定dim X=∞。
於是對於任意吉洪諾夫空間X確定的dim X，稱為X的切赫-勒貝格維數或覆蓋維數。若空間X與Y同胚，則dim X=dim Y。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
維數
刻畫幾何圖形拓撲性質的一種數。通俗地說，它是確定整個圖形中點的位置所需要的坐標(或參數)的個數。點的維數設為0，直線、平面和日常所指的空間的維數依次為1，2，3。19世紀以前的幾何學僅從事三維或低於三維圖形的研究。19世紀以來高維研究興起，如閔科夫斯基空間就是三維歐氏空間加上時間變數的四維空間。1878年德國數學家G.康托爾證明了一條線段上的點能夠和正方形的點建立一一對應，1890年義大利數學家皮亞諾根據法國數學家若爾當的曲線定義構造出能填滿一個正方形的曲線，這些都使數學家認真考慮維數的定義。
1912年法國數學家龐加萊給出維數的一個歸納定義：一個連續統叫做n維的，如果它能分成兩部分，其公共邊界是由n-1維的連續統組成的。1913年荷蘭數學家布勞威爾改進了龐加萊的定義，給出大歸納維數定義。此後門格(1923)和烏雷松(1925)得到另一種小歸納維數定義，並定義曲線為一維連續統。連續統是閉的連通集，由此排除了填滿平面域或空間的曲線。門格的《維數論》(1928)給出有關維數的許多基本定理。此外，捷克數學家切赫定義了覆蓋維數，由於套用了法國數學家勒貝格提出的方法，因此這種維數也被稱為勒貝格維數。原蘇聯數學家П.С.亞歷山德羅夫定義了同調維數(1928—1929)，建立起同調維數論。以後波蘭數學家胡雷維奇對維數理論做出較大貢獻，他與沃爾曼合著的《維數論》(1941)是維數理論的經典著作。近年來無限維空間的維數論得到重視，已開始成為維數論的中心課題。
傳統幾何學中的維數都是整數。隨著人類對客觀世界認識的深入，對於某些物體的表面形狀，例如山脈外形、大氣湍流、河道水系、人體血脈等不規則的特徵描述，都要求幾何表述手段進一步精確化，產生了分數維幾何學。1904年瑞典數學家科赫(H.Vonkoch)構造了一種雪花狀曲線，封閉曲線的長度趨於無窮大，但所圍面積卻是一個定值，其極限曲線是處處連續的，但處處無導數存在。後來人們又類似地構造了C曲線、謝爾品斯基墊片等圖形。1967年美國數學家芒代爾布羅(B.B.Mandelbort，1924—)開始從數學理論上研究分數維現象，1973年正式提出分形幾何和分數維概念，來定量地度量事物的不規則性和破裂程度，以及在不同的比例尺下事物的自相似性。目前確定一個幾何對象的維數，一般用豪斯多夫—貝西科維奇維數DHB，即把一個幾何對象的線度(線段長度與生成線兩端的距離之比)放大L倍，而它本身成為原來的K倍，則該對象的維數是DHB=lnK/lnL。由此可以得出科赫雪花狀曲線的維數DHB=ln4/ln3=1.2618。數學家正在建立分數維幾何的理論基礎，試圖給出計算遞歸集維數的一般方法，並為此發展一套嚴密的數學體系，分數維研究正蓬勃發展。
集族
集族是一種特殊的集合。以集合為元素的集合稱為集族。.例如，集A的冪集P(A)是一個集族。P(P(A))，P(P(P(A))都是集族。集族常用花體字母A，B，C等表示。取A為標號集，A到集族A的一一對應(雙射)為f：a→Aa，則集族A可記為{Aa|a∈A}或{Aa}a∈A。當A為線性序集{…，a，…，b，…，c，…}時，集族{…，Aa，…，Ab，…，Ac，…}稱為集列。
人物簡介
吉洪諾夫
蘇聯數學家、地球物理學家。生於格扎茲克[Гжатск，現在的斯摩棱斯克州](Смоленская обл.)內]。1927年畢業於莫斯科大學，是П.С.亞歷山德羅夫的學生。1936年以後在莫斯科大學和蘇聯科學院套用數學研究所工作。1936年獲得物理數學博士學位，同年成為教授。1966年被選為蘇聯科學院院士。吉洪諾夫的數學研究涉及面很廣，從最抽象的純粹數學領域到直接套用於生產技術的各數學學科，他都做出了貢獻。在集合論拓撲學中，引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。還研究了數學物理，帶小參數的微分方程以及地球物理學中的各種問題。著作有《數學物理方程》(Уравнения математитческой физики，1953)、《不適定問題的解法》(Методы решения некорректныхэадач，有中譯本，地質出版社，1979)等。
切赫
捷克斯洛伐克數學家。生於波希米亞的斯特拉切夫。卒於布拉格。父親是職業警察。1912—1914年在布拉格的查爾士大學學習數學。1920年獲布拉格大學博士學位。1921—1922年獲獎學金到都靈跟富比尼(G.Fubini)學習射影微分幾何。1922年任布拉格大學副教授。1923年任布爾諾大學數學教授。1945年去查爾士大學執教，在那裡先後創辦了捷克斯洛伐克科學院數學研究所和查爾士大學數學研究所。他是捷克斯洛伐克科學院院士，分別在1951年和1954年兩次榮獲捷克斯洛伐克國家勳章。
切赫主要研究拓撲學和幾何學。1921—1930年活躍於微分幾何領域，是射影微分幾何學的奠基人之一。1932年開始研究任意空間中的一般同調論、簇論和對偶理論，是當時甚有影響的組合拓撲學家。1937年他詳盡研究了一種新的空間——後被稱為切赫雙緊緻包絡，他的這一工作為一般拓撲學和一些泛函分析分支提供了重要的工具。1945年以後研究射影空間中的對應問題。此外他還研究維數理論和連續空間理論。平時也很關心改進中學數學教學。
曾和富比尼合著《射影微分幾何》(兩卷集， 1926—1927)，還著有《拓撲空間》(Topological Spaces， 1959)等。
勒貝格
法國數學家。生於博韋，卒於巴黎。1894—1897年在巴黎高等師範學校學習，是E.波萊爾的學生。1902年在巴黎大學獲得博士學位。以後在雷恩大學、普瓦捷大學和巴黎大學執教，1922年任法蘭西學院教授，同年當選為法國科學院院士。勒貝格的主要貢獻在測度論和積分論方面。他是勒貝格積分理論的創始人，其博士論文《積分、長度與面積》(1902)改進了E.波萊爾的測度理論，建立了“勒貝格測度”和“勒貝格積分”等概念，他採取先定義測度後定義積分的方法，在定義積分時又採取劃分值域而不是劃分定義域的方法，使積分歸結為測度，從而使黎曼積分的局限性得到突破，進一步發展了積分理論。他的工作是現代積分論的開端，並且成為傅立葉級數理論和位勢論發展的轉折點。他在《積分與原函式的研究》(1904)中，證明了有界函式黎曼可積的充要條件是其不連續點的集合為零測度集，從而解決了黎曼可積性的問題。他還指出了在勒貝格積分意義下微積分學基本定理的條件，研究了曲線可求長的理論，並發現了有界變差函式是幾乎處處可微的事實。在這些工作的基礎上，他又把微分、積分理論推廣到n維空間，推進更廣的積分概念的發展。勒貝格晚年從事數學教育、初等幾何和數學史的研究。他的論文收集在《勒貝格全集》(5卷)之中。
