分形維數

歷史

分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追溯到1875年，德國數學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函式，集合論創始人康托（G.Cantor，德國數學家）構造了有許多奇異性質的三分康托集。1890年，義大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數學家科赫（H.von Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓撲學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。

1910年，德國數學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。1928年布利乾（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度套用於非整數維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以後，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。

原理簡介

fractal dimension主要描述分形最主要的參量，簡稱分維。通常歐幾里德幾何中，直線或曲線是1維的，平面或球面是2維的，具有長、寬、高的形體是 3 維的；然而對於分形如海岸線、科赫曲線、謝爾賓斯基海綿等的複雜性無法用維數等於 1、2、3 這樣的數值來描述。科赫曲線第一次變換將1英尺的每邊換成3個各長4英寸的線段，總長度變為 3×4×4/3=16 英寸；每一次變換使總長度變為乘以4/3，如此無限延續下去，曲線本身將是無限長的。這是一條連續的回線，永遠不會自我相交，回線所圍的面積是有限的，它小於一個外接圓的面積。因此科赫曲線以它無限長度擠在有限的面積之內，確實是占有空間的，它比1維要多，但不及2維圖形，也就是說它的維數在1和2之間，維數是分數。同樣，謝爾賓斯基海綿內部全是大大小小的空洞，表面積是無限大，而占有的 3 維空間是有限的，其維數在2和3之間。