穩定子群亦稱穩定化子。一種特殊的子群。設群G作用在集合X上，x∈X，G中作用在x上使x不變的元素的全體，即{g∈G|xg=x}，它是G的一個子群，稱為x的穩定子群，記為SG(x)，或StG(x)。
穩定子群的概念還可以推廣。設Δ是Ω的一個子集合，可自然地得到兩個子群。第一個子群由G中那些把Δ中每個元素都不變的元素組成，這個子群稱為子集Δ的點不變穩定子群。第二個子群由G中那些把Δ作為整體還變成Δ的元素組成，這個子群稱為Δ的集不變穩定子群，分別記為GΔ和G{Δ}。
基本介紹
- 中文名：穩定子群
- 外文名：stable subgroup
- 領域：數學
- 別名：穩定化子
- 性質：一種特殊的子群
- 記號：SG(x)，或StG(x)
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群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G；
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c)；
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有Hi的交Hi是G的一個子群。
穩定子群的概念
穩定子群置換群內的一種特殊子群。置換群G中把某點α保持不動的全體元素組成的子群。它記為Gα，稱為α在G內的穩定子群。若β是G中另外一個點，而G中有元素g使α=β，則
。所以同一軌道內的各點有相互共軛的穩定子群。若Δ={α1，α2，…，αr}為G的軌道，取xi∈G (i=1，2，…，r)，使α1=αi，則陪集Gα1xi就是G中把α1變成αi的全部元素所成的子集。於是，Δ中的元素和Gα1在G內的各陪集之間可以建立一一對應。因此Δ的長度r就是Gα1在G內的指數。
穩定子群的概念還可以推廣。設Δ是Ω的一個子集合，可自然地得到兩個子群。第一個子群由G中那些把Δ中每個元素都不變的元素組成，這個子群稱為子集Δ的點不變穩定子群。第二個子群由G中那些把Δ作為整體還變成Δ的元素組成，這個子群稱為Δ的集不變穩定子群，分別記為GΔ和G{Δ}。還有其他形式的穩定子群，給定一個置換群後，就可以自然地得到一系列子群。通過這些子群的研究常常使人們可以了解所給置換群的構造，這是研究置換群的一個方便之處。
性質
1. 封閉性：即G的任意兩個元素在
下的運算結果都是該集合的一個元素。（
，
）。
4. 逆元：
，
，使得
，
稱為
的逆元，記為
。（逆元具有唯一性，即：由
可以推出
）
則
稱為一個群，或乘法群。
有時由於上下文的原因，群上的二元運算亦可稱為加法，此時該運算通常記為
，群元素的運算也被記為如同
的形式，而群也可被稱為加法群。此種情況下，往往加法還有可交換的性質。
置換群
例集合
的三個元素置換群組成
.
一般線性群
這個群稱為一般線性群，記為
。
簡單例子
例1
在普通乘法下是群。
證：1)封閉性：1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1
2)結合律：成立
3)單位元：1
4)逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1
例2
在mod n的加法下是群.
證：1)封閉性：除以n的餘數只能是
，故封閉性成立
2)結合律：成立
3)單位元：0
4)逆元素：對任意元素a有
，a的逆元
