陪集是指H是群G的子群，對於某一g∈G，{gh|對於所有h∈H}表示H的一個左陪集，記作gH;{hg|對於所有h∈H}表示H的一個右陪集，記作Hg；也譯作傍系，旁集等。
基本介紹
- 中文名：陪集
- 外文名：Coset
- 學科：代數
- 分類：左右陪集
- 別稱：傍系，旁集
- 相關名詞：阿貝爾群
簡介,舉例,C2,整型,矢量,使用等價類的定義,雙重陪集,相關定理,
簡介
在數學中，如果G是一個群，H是G的一個子群，g是G的一個元素，那么
gH = {gh：對於所有h∈H}表示H的左陪集，
Hg = {hg：對於所有h∈H}表示H的右陪集。
只有當H是常態的時候，H的左陪集和H的右陪集是重合的，這是子群的一個定義。 雖然從子群派生，但陪集通常本身不是G的子群。
陪集是G中某些子群的左陪集或右陪集。由於Hg = g（g-1Hg），右陪集Hg和左陪集g（g-1Hg）相同。 因此，除非首先指定子群，否則將陪集稱為左陪集或右陪集是沒有意義的。 換句話說：一個子群的右陪集等於不同（共軛）子群的左陪集。 如果左陪集和右陪集是相同的，那么H是一個正常的子群，並且陪集形成一個稱為商或因子群的群。
映射gH↦（gH）-1 = Hg-1定義左陪集和H的右陪集之間的雙射，因此左陪集的數量等於右陪集的數量。 公共值稱為G中的H的索引。
對於阿貝爾群，左陪集和右陪集始終是相同的。 如果群操作是相加的，則使用的符號變為g + H或H + g。
陪集是研究團體的基本工具；例如，他們在拉格朗日定理中發揮核心作用。
舉例
C2
令G =（{-1,1}，×）是乘法下由{-1,1}形成的群，與C2同構，H為子組（{1}，×）。 那么{-1} =（-1）H = H（-1），{1} = 1H = H1是G中唯一的陪集。因為它的左和右陪集關於G的任何元素重合，H 是G的子群。
整型
令G是整數的加群，Z =（{...，-2，-1,0,1,2，...}，+），H是子群（mZ，+）=（{。 ...，-2m，-m，0，m，2m，...}，+）其中m是正整數。 那么G中H的陪集是m組mZ，mZ + 1，...，mZ +（m-1），其中mZ + a = {...，-2m + a，-m + a，a ，m + a，2m + a，...}。 由於mZ + m = m（Z + 1）= mZ，所以不超過m個陪集。 陪集（mZ + a，+）是模m的同餘類。
矢量
陪集的另一個例子來自於向量空間的理論。 向量空間的元素（向量）在向量加法下形成一個阿貝爾群。 不難顯示向量空間的子空間是該群的子群。 對於向量空間V，子空間W和V中的固定向量a，集合
稱為仿射子空間，並且是陪集（左和右，因為該組是阿貝爾語）。 在幾何向量方面，這些仿射子空間是與子空間平行的“線”或“平面”，這是通過原點的線或平面。
使用等價類的定義
一些作者定義G中的H的左陪集是若且唯若x-1y∈H時由x〜y給出的等價關係下的等價類。該關係也可以由x〜y定義，並且只有對於H中的某個h，xh = y。可以表明，給出的關係實際上是等價關係，並且兩個定義是等價的。 因此，G中H的任何兩個左陪集是相同的或不相交的。 換句話說，G的每個元素都屬於唯一的一個左陪集，所以左陪集形成了G的分區。相應的聲明適用於正確的陪襯。
雙重陪集
給定兩個子群，G群的H和K，G中的H和K的雙重陪集是形式為HgK = {hgk：h是H的元素，k是K的元素}的集合。 當H = 1和K = 1時，這些是H的左陪集和H的右陪集。
相關定理
0. 群G的有限子群H的任意兩個陪集包含的元素個數相等，且等於H的階。
1. 群G的子群H的兩個左(右)陪集，要么是不相交的，要么是相等的。
2. H是群G的子群，對任一g∈(G-H),gH∩H=Φ,Hg∩H=Φ。
3. H是有限群G的子群，若存在一組g2,g3...gr∈(G-H)使對於任意i≠j都有Hgi∩Hgj=Φ(或giH∩gjH=Φ)，並且G=H∪Hg2∪Hg3∪...∪Hgr(或者H∪g2H∪g3H∪...∪grH)，那么G的階r倍於H的階，並定義r=[G:H]為H在G內的指數。
