短除法

短除法

短除法是求最大公因數的一種方法,也可用來求最低公倍數。求幾個數最大公因數的方法,開始時用觀察比較的方法,即:先把每個數的因數找出來,然後再找出公因數,最後在公因數中找出最大公因數。後來,使用分解質因數法來分別分解兩個數的因數,再進行運算。之後又演變為短除法。短除法運算方法是先用一個除數除以能被它除盡的一個質數,以此類推,除到商是質數為止。

基本介紹

  • 中文名:短除法
  • 外文名:Short division
  • 符號:把除號倒過來寫
  • 適用情況:求最大公因數、最低公倍數
  • 計算方法:公因數乘一邊,公倍數乘一圈
  • 涉及學科:數學
簡介,基本方法,基礎知識,分解質因數法,短除法,舉例說明,

簡介

短除法是求最大公因數的一種方法,也可用來求最低公倍數。求幾個數最大公因數的方法,開始時用觀察比較的方法,即:先把每個數的因數找出來,然後再找出公因數,最後在公因數中找出最大公因數。後來,使用分解質因數法來分別分解兩個數的因數,再進行運算。之後又演變為短除法。短除法運算方法是先用一個除數除以能被它除盡的一個質數,以此類推,除到商是質數為止。

基本方法

公約數和公倍數
公約數和公倍數公約數和公倍數
短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數的地方寫兩個數共有的質因數,然後落下兩個數被公有質因數整除的商,之後再除,以此類推,直到結果互質為止(兩個數互質)。
而在用短除計算公倍數數時,對其中任意兩個數存在的因數都要算出,其它沒有這個因數的數則原樣落下。直到剩下每兩個都是互質關係。
求最大公約數便乘一邊,求最低公倍數便乘一圈。
(公約數:亦稱“公因數”。是幾個整數同時均能整除的整數。如果一個整數同時是幾個整數的約數,稱這個整數為它們的“公約數”;公約數中最大的稱為最大公約數。)

基礎知識

如果數a能被數b整除,a就叫做b的倍數,b就叫做a的因數。因數和倍數都表示一個數與另一個數的關係,不能單獨存在。如只能說16是某數的倍數,2是某數的因數,而不能孤立地說16是倍數,2是因數。
"倍"與"倍數"是不同的兩個概念,"倍"是指兩個數相除的商,它可以是整數、小數或者分數。"倍數"只是在數的整除的範圍內,相對於"約數"而言的一個數字的概念,表示的是能被某一個自然數整除的數,它必須是一個自然數。
幾個自然數,公有的因數,叫做這幾個數的公因數;其中最大的一個,叫做這幾個數的最大公因數。例如:12、16的公約數有1、2、4,其中最大的一個是4,4是12與16的最大公約數,一般記為(12、16)=4。12、15、18的最大公約數是3,記為(12、15、18)=3。
幾個自然數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個,叫做這幾個數的最小的一個,叫做這幾個數的最低公倍數。例如:4的倍數有4、8、12、16,……,6的倍數有6、12、18、24,……,4和6的公倍數有12、24,……,其中最小的是12,一般記為[4、6]=12。12、15、18的最低公倍數是180。記為[12、15、18]=180。

分解質因數法


把每個數分別分解質因數,再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘,所得的積就是
這幾個數的最大公約數。例如:求24和60的最大公約數,先分解質因數,得24=2×2×2×3,60=2×2×3×5,24與60的全部公有的質因數是2、2、3,它們的積是2×2×3=12,
所以,(24、60)=12。
把幾個數先分別分解質因數,再把各數中的全部公有的質因數和獨有的質因數提取出來連乘,所得的積就是這幾個數的最低公倍數。例如:求6和15的最低公倍數。先分解質因數,得6=2×3,15=3×5,6和15的全部公有的質因數是3,6獨有質因數是2,15獨有的質因數是5,2×3×5=30,30裡面包含6的全部質因數2和3,還包含了15的全部質因數3和5,且30是6和15的公倍數中最小的一個,所以[6,15]=30。

短除法


短除法求最大約數,先用這幾個數的公約數連續去除,一直除到所有的商互質為止,然
後把所有的除數連乘起來,所得的積就是這幾個數的最大公約數。例如,求24、48、60的最大公約數。
(24、48、60)=2×3×2=12
短除法求最低公倍數,先用這幾個數的公約數去除每一個數,再用部分數的公約數去除,並把不能整除的數移下來,一直除到所有的商中每兩個數都是互質的為止,然後把所有的除數和商連乘起來,所得的積就是這幾個數的最低公倍數,例如,求12、15、18的最低公倍數。
(12、15、18)=3×2×2×5×3=180
無論是短除法,還是分解質因數法,在質因數較大時,都會覺得困難。這時就需要用新的方法。

舉例說明

例如:求12與18的最大公因數。以下如有約數出現則為因數
短除法例題
12的因數有:1、2、3、4、6、12。
18的因數有:1、2、3、6、9、18。
12與18的公因數有:1、2、3、6。
12與18的最大公因數是6。
這種方法對求兩個以上數的最大公因數數,特別是數目較大的數,顯然是不方便的。於是又採用了給每個數分別分解質因數的方法。
12=2×2×3
18=2×3×3
12與18都可以分成幾種形式不同的乘積,但分成質因數連乘積就只有以上一種,而且不能再分解了。所分出的質因數無疑都能整除原數,因此這些質因數也都是原數的因數。從分解的結果看,12與18都有公因數2和3,而它們的乘積2×3=6,就是 12與18的最大公因數。
採用分解質因數的方法,也是採用短除的形式,只不過是分別短除,然後再找公約數和最大公約數。如果把這兩個數合在一起短除,則更容易找出公約數和最大公約數。
從短除中不難看出,12與18都有公約數2和3,它們的乘積2×3=6就是12與18的最大公約數。與前邊分別分解質因數相比較,可以發現:不僅結果相同,而且短除法豎式左邊就是這兩個數的公共質因數,而兩個數的最大公約數,就是這兩個數的公共質因數的連乘積。
實際套用中,把需要計算的兩個或多個數放置在一起,然後進行短除。

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