質因數

質因數

質因數素因數質因子)在數論里是指能整除給定正整數質數。除了1以外,兩個沒有其他共同質因子的正整數稱為互質。因為1沒有質因子,1與任何正整數(包括1本身)都是互質。正整數的因數分解可將正整數表示為一連串的質因子相乘,質因子如重複可以用指數表示。根據算術基本定理,任何正整數皆有獨一無二的質因子分解式。只有一個質因子的正整數為質數。

每個合數都可以寫成幾個質數(也可稱為素數)相乘的形式,這幾個質數就都叫做這個合數的質因數。如果一個質數是某個數的因數,那么就說這個質數是這個數的質因數;而這個因數一定是一個質數。

基本介绍

  • 中文名:質因數
  • 外文名:Prime Factors
  • 別稱:素因數或質因子
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:數學
  • 適用領域範圍:數理科學
  • 基本概念:指能整除給定正整數質數
例子,相關內容,基本信息,計算方法,

例子

  • 1沒有質因子。
  • 5隻有1個質因子,5本身。(5是質數)
  • 6的質因子是2和3。(6 = 2 × 3)
  • 2、4、8、16等只有1個質因子:2。(2是質數,4 =22,8 = 23,如此類推)
  • 10有2個質因子:2和5。(10 = 2 × 5)

相關內容

基本信息

質因數就是一個數的約數,並且是質數。
比如8=2×2×2,2就是8的質因數;
12=2×2×3,2和3就是12的質因數。
把一個式子以12=2×2×3的形式表示,叫做分解質因數
把一個合數寫成幾個質數相乘的形式表示,這也是分解質因數,如16=2×2×2×2,2就是16的質因數。
把一個合數分解成若干個質因數的乘積的形式,即求質因數的過程叫做分解質因數。
分解質因數隻針對合數。(分解質因數也稱分解素因數)求一個數分解質因數,要從最小的質數除起,一直除到結果為質數為止。
分解質因數的方法是先用一個合數的最小質因數去除這個合數,得出的數若是一個質數,就寫成這個合數相乘形式;若是一個合數就繼續按原來的方法,直至最後是一個質數 。
分解質因數的有兩種表示方法,除了最常用的“短除分解法”之外,還有一種方法就是“塔形分解法”。
分解質因數對解決一些自然數和乘積的問題有很大的幫助,同時又為求最大公約數最低公倍數做了重要的鋪墊。
Pollard Rho因數分解
1975年,John M. Pollard提出了第二種因數分解的方法,Pollard Rho快速因數分解。該算法時間複雜度為
分解質因數代碼:
將一個正整數分解質因數。例如:輸入90,列印出90=2*3*3*5。
程式分析:對n進行分解質因數,應先找到一個最小的質數k,然後按下述步驟完成:
(1)如果這個質數恰等於n,則說明分解質因數的過程已經結束,列印出即可。
(2)如果n>k,但n能被k整除,則應列印出k的值,並用n除以k的商作為新的正整數n,重複執行第一步。
(3)如果n不能被k整除,則用k+1作為k的值,重複執行第一步。

計算方法

短除法
最大公因數的一種方法,也可用來求最低公倍數
求幾個數最大公因數的方法,開始時用觀察比較的方法,即:先把每個數的因數找出來,然後再找出公因數,最後在公因數中找出最大公因數。
例1、求12與18的最大公因數。
12的因數有:1、2、3、4、6、12 。
18的因數有:1、2、3、6、9、18。
12與18的公因數有:1、2、3、6。
12與18的最大公因數是6。
這種方法對求兩個以上數的最大公因數,特別是數目較大的數,顯然是不方便的。於是又採用了給每個數分別分解質因數的方法。
12=2×2×3
18=2×3×3
12與18都可以分成幾種形式不同的乘積,但分成質因數連乘積就只有以上一種,而且不能再分解了。所分出的質因數無疑都能整除原數,因此這些質因數也都是原數的約數。從分解的結果看,12與18都有公約數2和3,而它們的乘積2×3=6,就是 12與18的最大公約數
採用分解質因數的方法,也是採用短除的形式,只不過是分別短除,然後再找公約數和最大公約數。如果把這兩個數合在一起短除,則更容易找出公約數和最大公約數。
從短除中不難看出,12與18都有公約數2和3,它們的乘積2×3=6就是12與18的最大公約數。與前邊分別分解質因數相比較,可以發現:不僅結果相同,而且短除法豎式左邊就是這兩個數的公共質因數,而兩個數的最大公約數,就是這兩個數的公共質因數的連乘積。
實際套用中,是把需要計算的兩個或多個數放置在一起,進行短除。
在計算多個數的最低公倍數時,對其中任意兩個數存在的約數都要算出,其它無此約數的數則原樣落下。最後把所有約數和最終剩下無法約分的數連乘即得到最低公倍數。
只含有1個質因數的數一定是虧數

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