矩陣變換

矩陣變換

矩陣變換是線性代數中矩陣的一種運算形式。

線性代數中,矩陣的初等變換是指以下三種變換類型 :

(1) 交換矩陣的兩行(對調i,j,兩行記為ri,rj);

(2) 以一個非零數k乘矩陣的某一行所有元素(第i行乘以k記為ri×k);

(3) 把矩陣的某一行所有元素乘以一個數k後加到另一行對應的元素(第j行乘以k加到第i行記為ri+krj)。

類似地,把以上的“行”改為“列”便得到矩陣初等變換的定義,把對應的記號“r”換為“c”。

矩陣的初等行變換與初等列變換合稱為矩陣的初等變換。

基本介紹

  • 中文名:矩陣變換
  • 外文名:Matrix transformation
  • 所屬學科:線性代數
  • 套用範圍:工程數學、考研
  • 理論基礎:高斯消元法
結論,矩陣等價,矩陣變換套用,

結論

容易看出,這三種初等變換都不會改變一個方陣A的行列式的非零性,所以如果一個矩陣是方陣,我們可以通過看初等變換後的矩陣是否可逆,來判斷原矩陣是否可逆。可以看出,矩陣的3種初等變換都是可逆的,且其逆變換也是同一種類型的初等變換。

矩陣等價

若矩陣A經過有限次的初等行變換變為矩陣B,則矩陣A與矩陣B行等價;若矩陣A經過有限次的初等列變換變為矩陣B,則矩陣A與矩陣B列等價;若矩陣A經過有限次的初等變換變為矩陣B,則矩陣A與矩陣B等價。
矩陣等價性質:
(1)反身性 A~A;
(2)對稱性 若A~B,則B~A;
(3)傳遞性 若A~B,B~C,則A~C
初等矩陣性質:
1、設A是一個m×n矩陣,對A施行一次初等行變換,其結果等價於在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣;對A施行一次初等列變換,其結果等價於在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣。反之亦然。
2、方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣P1,P2,......Pn,使得P1P2...Pn.
3、m×n矩陣A與B等價若且唯若存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q使得B=PAQ。

矩陣變換套用

1、分塊矩陣
矩陣的分塊是處理階數較高矩陣時常用的方法,用一些貫穿於矩陣的縱線和橫線將矩陣分成若干子塊,使得階數較高的矩陣化為階數較低的分塊矩陣,在運算中,我們有時把這些子塊當作數一樣來處理,從而簡化了表示,便於計算。 分塊矩陣有相應的加法、乘法、數乘、轉置等運算的定義,也可進行初等變換。 分塊矩陣的初等變換是線性代數中重要而基本的運算,它在研究矩陣的行列式、特徵值、秩等各種性質及求矩陣的逆、解線性代數方程組中有著廣泛的套用。
2、求演化矩陣
已知矩陣A 相似於矩陣B,藉助初等變換的方法,可以構造性的獲得演化矩陣P。即找到具體的可逆矩陣P,使B = P^(-1)AP,由B =P^(-1)AP,可得AP =PB,將P 的元素設為未知量,由矩陣的乘法及兩矩陣相等可得一齊次線性方程組,由方程組的一個非零解即可得到一個要求的演化矩陣P。
當然,這只是矩陣初等變換的一個小小的套用,它在線性代數中的更重要的套用主要體現於以下幾點:求矩陣的秩,求向量組的極大無關組、秩,求解線性方程組,求多項式的最大公因式等。

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