矩陣的秩

矩陣的秩是線性代數中的一個概念。在線性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數，通常表示為r(A)，rk(A)或rank A。

線上性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數目。類似地，行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。即如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關組中所含向量的個數。

基本介紹

• 中文名：矩陣的秩
• 外文名：The Rank of Matrix
• 領域：線性代數
• 性質：行秩是A的線性無關極大數目
• 公式： A=(aij)m×n

相關定義

方陣(行數、列數相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為r(A)，rk(A)或。

m × n矩陣的秩最大為m和n中的較小者，表示為 min(m,n)。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為“欠秩”）的。

設A是一組向量，定義A的極大無關組中向量的個數為A的秩。

定義1. 在m*n矩陣A中，任意決定α行和β列交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。

例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣A的一個2階子式。

定義2. A=(a_ij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A的秩，記作rA，或rankA或R(A)。

特別規定零矩陣的秩為零。

顯然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一個r階子式不等於零，且在r<min(m,n)時，A中所有的r+1階子式全為零，則A的秩為r。

由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(A)≠0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。

由行列式的性質知，矩陣A的轉置A^T的秩與A的秩是一樣的，即rank(A)=rank(A^T)。

矩陣的秩

定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等變換不改變矩陣的秩。

定理：矩陣的乘積的秩R_ab<=min{R_a,R_b};

引理：設矩陣A=(a_ij)sxn的列秩等於A的列數n，則A的列秩，秩都等於n。

當r(A)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。

當r(A)<=n-1時，最高階非零子式的階數<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號成立時伴隨陣必為非零）。

變化規律

(1)轉置後秩不變

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩陣

(3)r(kA)=r(A),k不等於0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

證明：
AB與n階單位矩陣En構造分塊矩陣
|AB O|
|O En|
A分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣,有
|AB A|
|0 En|
右邊兩塊矩陣分乘-B加到左邊兩塊矩陣,有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一個矩陣)=r(最後一個矩陣)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

註：這裡的n指的是A的列數。這裡假定A是m×n矩陣。

特別的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

(8)P,Q為可逆矩陣, 則 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

(9)若矩陣可相似對角化則矩陣的秩等於矩陣非零特徵值的個數。