狄利克雷級數

狄狄利克雷級數在解析數論中有重要的地位。黎曼ζ函式和狄利克雷L函式都可以用狄利克雷級數來定義。有猜測所有的狄利克雷級數組成塞爾伯格類函式都滿足廣義黎曼猜想。狄利克雷級數的名稱來源於數學家約翰·彼得·狄利克雷。

基本介紹

• 中文名：狄利克雷級數
• 外文名：DeLickley series
• 又稱：指數級數
• 套用學科：數學
• 所屬領域：解析數論
• 相關術語：廣義黎曼猜想

定義

在數學中，狄利克雷級數是如下形式的無窮級數：

其中s是一個複數，a_n是一個複數列。

例子

最有名的狄利克雷級數要數黎曼ζ函式了，即數列a_n恆等於 1 時的情形。

另外一個是：

其中μ(n) 是默比烏斯函式。還有很多的狄利克雷級數都可以通過默比烏斯倒置算法和狄利克雷卷積得到。比如對於一個給定的狄利克雷特徵，有

其中 是一個狄利克雷L函式。

還有：

其中φ(n) 是歐拉函式。以及：

其中 σ_a(n) 是因數函式。

其他關於因數函式d=σ₀的等式還有：

對於Re(s)>1，ζ函式的對數由下式給出：

其中 為馮·曼戈爾特函式。

其導數由下式給出：

更廣泛的性質如下：對於一個劉維爾函式，，有：

另外一個例子是關於拉馬努賈函式：

。

解析性質

對於一個給定的數列a_n}_n∈N

是一個關於復變數s的函式。為了使得函式有意義，需要考慮使得右端的無窮級數收斂的s。

如果a_n}_n∈N是一個有界數列，那么f在所有Re(s) > 1的s處絕對收斂。如果a_n= O(n)，那么函式f在所有 Re(s)>k+1 的s處（一個半平面）絕對收斂。

如果對任意n和k≥ 0，和a_n+a_{n+ 1}+ ... +a_n+k有界。那么對 Re(s) > 0 的s，函式f收斂。

以上定義的函式f對於定義域中的s都是解析函式。

一般來說，一個狄利克雷函式的收斂軸標是指實軸上的一個數x₀，使得對於複平面上處於直線y=x₀右邊的半平面，函式都收斂（有定義）。

一般來說，與狄利克雷級數相對應的函式都可以解析擴展到更廣的領域中。

導數

對於

其中ƒ(n)是一個完全積性函式，並且對於Re(s)>σ₀，函式收斂，則有：

對於Re(s)>σ₀收斂，其中是馮·曼戈爾特函式。

乘積

對於

以及

如果F(s)和G(s) 分別對 Res>a和 Res>b的s絕對收斂，那么

當 時，

如果a=b並且 ƒ(n) =g(n) 則有：

當時，