無窮大

無窮大

在集合論中對無窮有不同的定義。德國數學家康托爾提出,對應於不同無窮集合的元素的個數(基數),有不同的“無窮”。兩個無窮大量之和不一定是無窮大,有界量與無窮大量的乘積不一定是無窮大(如常數0就算是有界函式),有限個無窮大量之積一定是無窮大。

基本介紹

  • 中文名:無窮大
  • 外文名:infinity
  • 分類:數學
  • 包括:正無窮 負無窮
  • 相關:康托爾定理
  • 類似:無窮集合
簡介,數學定義,分類,性質,無窮級數,比較,

簡介

在集合論中對無窮有不同的定義。德國數學家康托爾提出,對應於不同無窮集合的元素的個數(基數),有不同的“無窮”。
這裡比較不同的無窮的“大小”的時候唯一的辦法就是通過是否可以建立“一一對應關係”來判斷,而拋棄了歐幾里得“整體大於部分”的看法。例如整數集和自然數集由於可以建立一一對應的關係,它們就具有相同的無窮基數。
自然數集是具有最小基數的無窮集,它的基數用希伯來字母阿列夫右下角標來表示。
可以證明,任何一個集合的冪集(所有子集所形成的集合)的比原集合大,如果原來的基數是a,則冪集的基數記為
(2的a次方)。這稱為康托爾定理。
對於兩個無窮集合,可以以能否建立它們之間的雙射,作為比較其大小的標準。
確切地講,我們用基數的概念來描述集合,對於有限集合而言,可以認為它的基數就是元素的個數,但對無窮集而言,基數只能以下面的方式理解(當然也可以據此把無窮集合的基數說成是它元素的個數,但這個個數已經不是日常用語中的意思)。
如果集合A與集合B之間存在雙射(一一對應),就認為它們的基數一樣大;如果A與B的某個子集有雙射,就認為A的基數不比B更大,也就是A到B有單射,B到A有滿射;當A的基數不比B更大,且A、B基數不一樣大時,就認為A比B基數小。
在ZFC集合論的框架下,任何集合都是良序的,從而兩個集的基數總是大於、小於、等於中的一種,不會出現無法比較的情況。但若不包括選擇公理,只有良序集的基數才能比較。
例如,可數集合,如自然數集,整數集乃至有理數集對應的基數被定義為“阿列夫零”。比可數集合“大”的稱之為不可數集合,如實數集,其基數與自然數的冪集相同,為二的阿列夫零次方,被定義為“阿列夫壹”。
由於一個無窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數,所以通過構造一系列的冪集,可以證明無窮的基數的個數是無窮的。然而有趣的是,無窮基數的個數比任何基數都多,從而它是一個比任何無窮大都要大的“無窮大”,它不能對應於一個基數,否則會產生康托爾悖論的一種形式。

數學定義

1.設函式f(x)在x0的某一去心鄰域內有定義(或|x|大於某一正數時有定義)。如果對於任意給定的正數M(無論它多么大),總存在正數δ(或正數X),只要x適合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趨於無窮),對應的函式值f(x)總滿足不等式|f(x)|>M,則稱函式f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮大。
在自變數的同一變化過程中,無窮大與無窮小具有倒數關係,即當x→a時f(x)為無窮大,則1/f(x)為無窮小;反之,f(x)為無窮小,且f(x)在a的某一去心鄰域內恆不為0時,1/f(x)才為無窮大。
無窮大記作∞,不可與很大的數混為一談。
2.①如果當x>0且無限增大時,函式f(x)無限趨於一個常數A,則稱當x→+∞時函式f(x)以A為極限.記作
=A或f(x)→A ﹙x→+∞﹚.
②如果當x<0且x的絕對值無限增大時,函式f(x)無限趨於一個常數A,則稱當x→-∞時函式f(x)以A為極限.記作
=A或f(x)→A ﹙x→-∞﹚.

分類

無窮大分為正無窮大負無窮大,分別記作+∞、-∞ ,非常廣泛的套用於數學當中。

性質

兩個無窮大量之和不一定是無窮大;
有界量與無窮大量的乘積不一定是無窮大(如常數0就算是有界函式);
有限個無窮大量之積一定是無窮大。
另外,一個數列不是無窮大量,不代表它就是有界的(如,數列1,1/2,3,1/3,……)。

無窮級數

對於發散至正無窮大(或負無窮大)的無窮級數
,我們也記作
(或
例:
調和級數:
更一般地,對於p級數
時有
素數的倒數之和:

比較

最大的無窮大是多大呢?答案是沒有盡頭。事實上,(0,1)上的實數可以和正整數的所有子集的集合一一對應:把這些實數寫成二進制小數點後第n位為1,對應於n在子集中;為0則對應不在子集中。這樣[0,1)上的實數就和正整數的子集有了一一對應,因此實數和正整數集的所有子集的個數一樣多。也可以證明前面所說曲線可以和實數集的冪集有一一對應關係。我們把前面說的所有曲線看成一個集合,他的所有子集的個數又將比這個集合大。這個過程可以一直進行下去,得到越來越大的無窮大。
另外還有一個問題,即連續統假設:整數的無窮大和實數的無窮大之間存不存在別的無窮大。也就是說,是否存在比整數基數大,而比實數基數小的無窮基數,也就是
之間有沒有別的基數。
更一般的,任給定無窮基數a,在a和2a之間是否有別的基數?這稱為廣義連續統假設。
數學家證明了這樣一個事實:連續統假設無法在ZFC集合論公理下被證明或證偽,換而言之,承認連續統假設將導出一個體系;不承認將導出另外一種體系。連續統假設或其否定均可作為額外的公理

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