無窮小量

無窮小量

無窮小量是數學分析中的一個概念,在經典的微積分或數學分析中,無窮小量通常以函式、序列等形式出現。無窮小量即以數0為極限的變數,無限接近於0。確切地說,當自變數x無限接近x0(或x的絕對值無限增大)時,函式值f(x)與0無限接近,即f(x)→0(或f(x)=0),則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量。特別要指出的是,切不可把很小的數與無窮小量混為一談。

基本介紹

  • 中文名:無窮小量
  • 外文名:Infinitesimals
  • 提出者:阿基米德
  • 提出時間:公元前300年
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:數學分析
定義,性質,無窮大,階的比較,前提條件,高低階無窮小量,同階無窮小量,等價無窮小量,

定義

無窮小是極限為零的函式。如
是自變數
,因變數極限為零的函式。此時f(x)就是
的無窮小。
無窮大是指絕對值大於任何數的函式,因此負無窮不是無窮小,而是無窮大。
無窮小量
設f在某x0的空心鄰域有定義。
對於任給的正數 ε(無論它多么小),總存在正數
(或正數
)使得不等式
(或
)的一切
對應的函式值
都滿足不等式
,則稱函式
為當
(或
)時的無窮小量。記做:
(或
)。

性質

1、無窮小量不是一個數,它是一個變數。
2、零可以作為無窮小量的唯一一個常量。
3、無窮小量與自變數的趨勢相關。
4、若函式
在某
的空心鄰域有界,則稱g為當
時的有界量。
例如
,都是當
時的無窮小量,
是當
時的無窮小量,而
時的有界量,
是當
時的有界量。特別的,任何無窮小量也必定是有界量。
5、有限個無窮小量之和仍是無窮小量。
6、有限個無窮小量之積仍是無窮小量。
7、有界函式與無窮小量之積為無窮小量。
8、特別地,常數和無窮小量的乘積也為無窮小量。
9、恆不為零的無窮小量的倒數為無窮大,無窮大的倒數為無窮小。

無窮大

當自變數x趨於x0時,函式的絕對值無限增大,則稱
為當
時的無窮大。記作
同樣,無窮大不是一個具體的數字,而是一個無限發展的趨勢。

階的比較

前提條件

無窮小量是以0為極限的函式,而不同的無窮小量收斂於0的速度有快有慢。因此兩個無窮小量之間又分為高階無窮小低階無窮小同階無窮小等價無窮小
首先規定
都為
時的無窮小,
在某
的空心鄰域恆不為0。

高低階無窮小量

,則稱當
時,f為g的高階無窮小量,或稱g為f的低階無窮小量。
記做
(
)
特別的,f為當
時的無窮小量記作
(
)。

同階無窮小量

(c≠0)時,ƒ和ɡ為
時的同階無窮小量。
當x→0時的同階無窮小量:

等價無窮小量

,則稱ƒ和ɡ是當
時的等價無窮小量,記做:
)。
等價無窮小量套用最廣泛,常見的有:
當x→0時

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