無條件基

無條件基(unconditional base)是一種與級數的無條件收斂概念緊密相關的基。亨內費爾德(J.Hennefeld)於1973年證明了對於巴拿赫空間的無條件基，只有下列三種可能情況：沒有，僅有一個(在等價意義下)，有不可數個。林登史特勞斯(J.Lindenstrauss)和齊平(M.Zippin)指出，如果巴拿赫空間X有惟一的無條件基(在等價的意義下)，那么X必定線性同胚於空間c₀，l或l²中的一個。因此，線上性同胚意義下，有而且只有巴拿赫空間c₀，l或l²有惟一的無條件基。

基本介紹

• 中文名：無條件基
• 外文名：unconditional base
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：泛函分析(巴拿赫空間)
• 相關概念：無條件收斂、巴拿赫空間等

定義

Banach空間的基稱為無條件基，如果對任何，級數是無條件收斂的。相應地，可定義無條件基序列。

相關定理

定理1 若是Banach空間的基，則下列等價：

(1) 是無條件基。

(2) 對正整數的每個置換，是無條件基。

(3)若是收斂的，則對正整數集N的每個子集，是收斂的。

(4)若是收斂的，則當時，是收斂的。

定理2 若是的一個無條件基(或無條件基序列)，是正整數集的一個子集，定義

(相應地，)(相應地，)

則是有界線性投影。

定義1如定理2中定義的運算元稱為關於無條件基(相應地，無條件基序列)的自然投影。容易看到，當時，與前面定義的關於基(相應地，基序列)的自然投影是相同的。

定理3若是X的一個無條件基(或無條件基序列)，是一個符號選取(即)。定義：

(相應地，)(相應地，)

則為一個有界線性運算元。

定理4對如上定義，，有下列成立：

(1) 若，則。

(2) 若是兩個符號選取，則

其中。

(3)。

定義2若是Banach空間X的無條件基(或無條件基序列)，是如上定義的，則稱數為的無條件基(相應地，無條件基序列)常數。

容易看到，無條件基常數不小於基常數。

命題1若是X的無條件基，則存在X上一個等價範數，使的無條件基常數等於1。

命題2若是X的一個具無條件基常數K的無條件基，則相應坐標泛函是的一個無條件基序列，它具無條件基序列常數，不超過K；當是的基時，等於K。

有了這些準備工作之後，我們開始討論，當X具無條件基時，X將具有什麼性質。

定理5若X是具有無條件基的Banach空間，則下列等價：

(1) 基是有界完備的。

(2) X是w序列完備的。

(3) X沒有閉子空間線性同胚於。

引理1若是Banach空間X的無條件基，它的無條件基常數是K，則對於使得收斂的數列及有界數列，有

註：當X是實Banach空間時，上式的右邊2K可用K來代替。

引理2若是Banach空間的無條件基，是相應的坐標泛函，若是X中一個有界序列，使對每存在，且對每個，則

定理6若X是具無條件基的Banach空間，則下列等價：

(1) 基是收縮的。

(2) 相應的坐標泛函是的有界完備基。

(3) 相應的坐標泛函是的一個基。

(4) 是可分的。

(5) X沒有閉子空間線性同胚於。

(6) 相應的坐標泛函是的無條件基。

定理7若X是具無條件基的Banach空間，則下列等價：

(1) X是自反的。

(2) X是w序列完備的，且X沒有閉線性子空間線性同胚於。

(3) X沒有閉線性子空間線性同胚於或。

(4) 不含閉線性子空間線性同胚於。

(5) 是可分的。