求解

求解

求解,漢語辭彙,釋義為請求解救或解除。

方程求解,簡介,解集合,相關條目[編輯],
(1).請求解救或解除。《史記·孟嘗君列傳》:“﹝ 秦昭王 ﹞囚 孟嘗君 ,謀欲殺之。 孟嘗君 使人抵 昭王 幸姬求解。”《醒世恆言·盧太學詩酒傲王侯》:“卻說 汪知縣 幾日間連線數十封書札,都是替 盧柟 求解的。” 清 嚴有禧 《漱華隨筆·李孝女》:“女痛父言,以狀告, 挺九 許之金求解此獄。”
(2).求得解悟。 南朝 宋 謝靈運 《辨宗論》:“同游諸人,竝業心神道,求解言外。”
(3).求取代數方程中未知數的值。
如:3(x-7)-2(4-x)=5的解是什麼?即求得X的值。

方程求解

數學中的方程求解是指找出哪些值(可能是函式集合)可以使一個方程成立,或是指出這様的解不存在。方程是二個用等號相連的數學表示式,表示式中有一個或多個未知數,未知數為自由變數,解方程就是要找出未知數要在什麼情形下,才能使等式成立。更準確的說,方程求解不一定是要找出未知數的值,也有可能是將未知數以表示式來表示。方程的解是一組可以符合方程的未知數,也就是說若用方程的解來取代未知數,會使方程變為恆等式
例如方程x+y= 2x– 1的解為x=y+ 1,因為若將方程中x取代為y+ 1,方程會變成恆等式(y+ 1) +y= 2(y+ 1) – 1。也可以將y視為未知數,解則為y=x– 1。也可以將xy都視為未知數,此時會有許多組的解,像是(x,y) = (1, 0)或是(x,y) = (2, 1)等,所有滿足(x,y) = (a+ 1,a)的都是上述方程的解。
依問題的不同,方程求解可能只需要找到一組可以滿足方程的解,也有可能是要找到所有的解(解集合)。有時方程會存在許多解,但要找到某種最佳解,這類的問題稱為最佳化問題,找出最佳化問題的解一般不視為方程求解。
有些情形下,方程求解會需要找到解析解,也就是以解析表達式來表達的解。有些情形下,方程求解只需要找到數值解,也就是數值分析的方法求解近似值。許多方程不存在解析解,或是沒有簡單形式的解析解,例如五次方程以及更高次的代數方程,不存在根式解(用有限次的四則運算及根號組合而成的解析解),這是由數學家尼爾斯·阿貝爾證明的。

簡介

考慮一個具一般性的例子,有一個以下的方程:
  • ƒ(x1,...,xn)=c,
其中x1,...,xn為未知數,而c為常數。其解為反像集合的成員
  • ƒ[c]={(a1,...,an)∈T1×···×Tn|ƒ(a1,...,an)=c}
其中T1×···×Tn為函式ƒ定義域。注意解集合可能為空集合(沒有解)、單元素集合(唯一解)、有限個元素的集合及無限多個元素的集合(有無限多的解)。
例如,以下的方程:
  • 3x+2y=21z
其未知數為x,yz,可以在等式二側同減21z,得到以下的式子:
  • 3x+2y−21z=0
以此例而言,方程不會只有唯一解,方程解的個數有無限多個,可以寫為以下的集合
  • {(x,y,z)|3x+2y−21z=0}.
其中一個特殊解為x= 0,y= 0,z= 0,而x= 3,y= 6,z= 1和x= 8,y= 9,z= 2也是其解。解集合描述一個三維空間中,恰好穿過上述三個點的平面。

解集合

若解集合為空集合,表示不存在xi使得以下方程成立
  • ƒ(x1,...,xn) =c,
其中c為一特定常數。
例如考慮一個經典的單變數例子,考慮定義域整數的平方函式ƒ
  • ƒ(x) =x,
考慮以下方程
  • ƒ(x) = 2.
其解集合為{},是空集合。因為2不是任何整數的平方,因此不可能找到整數可以使以上方程成立。但若修改函式的定義域,將其定義域改為所有實數,則上式有二個解,其解集合為
  • {√2, −√2}.
有些方程的解集合可能形成一個平面或曲面。例如在學習基礎數學時,有提及形式為ax+by=c的方程,其中a,b,andc都是實數的常數,且ab至少有一個不為零,其解集合形成向量空間R中的一條直線。不過有些解集合不易用圖解表示,例如ax+by+cz+dw=ka,b,c,d, andk為實數的常數)的解集合會形成超平面

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