歐拉運動學方程

歐拉運動學方程是描述剛體運動的微分方程，在剛體繞定點運動中，反映角速度和歐拉角關係的方程，該方程在剛體繞定點運動的研究中有重要地位。

基本介紹

• 中文名：歐拉運動學方程
• 外文名：Euler kinematical equations
• 別稱：Euler運動學方程
• 所屬學科：數理科學
• 屬性：描述剛體運動的微分方程
• 意義：在剛體繞定點運動研究中很重要

基本介紹

假定剛體固結參考系 在慣性參考系 中有旋轉運動，瞬時旋轉角速度為 ，三個分量記為 。

本體赤道面 與平均赤道面 有一個交線，從原點 沿上述交線的一方引伸出一個射線，稱之為節線 ，節線與 之間的夾角稱為進動角，用 表示；瞬時軸 與 之間的夾角稱為自轉角，用 表示； 與 之間的夾角稱為章動角，用 表示。自轉角 、進動角 和章動角 通稱Euler角，是由Euler引進的。三個Euler角可以完全描述任意一個剛體的旋轉運動，原因在於：一個點由三個獨立坐標描述；一個剛體通常需要不在同一條直線上的三個點(共9個坐標)來描述；將其中的一個點選為原點，則只需要2個點即6個坐標來描述；但3個點之間存在3個距離方程，因而獨立的坐標數只有3個；3個Euler角正好構成一組獨立坐標。在事先不知道剛體的旋轉運動規律的前提下，要想確定這種旋轉運動，則需要求解Euler運動學方程和Euler動力學方程。

方程形式

根據三個Euler角的定義不難寫出如下關係：

其中 表示繞地固質心坐標系 軸的旋轉角速度。上式便是著名的Euler運動學方程，即歐拉運動學方程。

準慣性系中的表達形式

將旋轉角速度 在準慣性系 中表示出來：

其中 表示繞地心準慣性坐標系 軸的旋轉角速度( )。

相關概念

歐拉角

剛體定點運動的自由度為3，如何選擇3個變數，使它們既能簡單、明確、單值地確定剛體位置，又能獨立變化，這對簡化定點運動的描述是非常重要的，剛體力學的奠基者歐拉（Leonhard Euler,1707一1783）成功地、巧妙地解決了這個問題，他選擇3個角度，即著名的歐拉角(Euler angles)作為描述剛體定點運動的變數，具體選擇方法如下：以固定點為原點建立靜正坐標系 ，再以固定點為原點建立與剛體固連的動坐標系 如圖1。

圖1

確定剛體位置等價於確定動坐標的位置，他用兩個角度確定z軸的位置，一個是z軸對 軸的傾角 角，另一個是用來確定z軸的方位，它是 面與平均赤道面 面的交線ON與 軸的夾角，交線ON稱為節線；這兩個角確定後，z軸的位置就確定了，但動坐標系還可以繞z軸轉動，若動坐標的x軸與節線的夾角 確定了，則動坐標的位置完全確定，這樣選取的3個角 ， ， 稱為歐拉角。

它們的量度方向如圖所示，它們的變化範圍分別為： 。

這3個角可以獨立變化，即這3個變數是獨立的，從運動學上，它們之間不存在依賴關係（即函式關係），最能說明其獨立性的事實是：當任何一個角自由改變時，其他兩個角可以保持不變，如以下三種情況是可能的。

1. 僅 角改變，保持 ， 不變。這種運動相應於z軸與 軸間夾角不變，z軸在靜止空間中沿圓錐面運動，同時 角也保持不變，這種運動稱為進動（precession），相應的角速度稱為進動角速度，它的大小和方向為， 為 軸的單位矢量。

2. 僅 角改變，保持 , 角不變。剛體的這種運動稱為章動(nutation)，相應的角速度為章動角速度，它的大小和方向為， 為沿節線的單位矢量。
3. 僅 角改變，保持 ， 角不變。剛體的這種運動稱為自轉（rotation），相應的角速度為 ，稱為自轉角速度，k為z軸的單位矢量。
當3個角同時變化，三種運動同時存在時，剛體的角速度為3個分角速度的合成。