基本介紹
- 中文名：剛體定點轉動動力學
- 外文名：dynamics of rotation of a rigid body with a fixed point
剛體定點轉動的動量矩,歐拉動力學方程,動力學方程的積分,工程套用,
剛體定點轉動的動量矩
剛體繞固定點O轉動時對點O的動量矩是描述剛體轉動運動的主要動力學量。動量矩的表達式是L=Jω，式中J為剛體對O點的慣量張量（見轉動慣量），ω為剛體轉動的角速度矢量。過點O作直角坐標系Oxyz，則動量矩在坐標系Oxyz中的矩陣表達式為：
歐拉動力學方程
將對固定點O的動量矩定理
，向固結與剛體的主軸坐標系投影，即為剛體 定點轉動的動力學方程：
方程（3）與（4）共同組成封閉的方程組，6個變數ψ，θ，φ，
，總階數是6階，反映了定點轉動運動的自由度數是3。還需指出，用分析力學中的拉氏第二方程也能建立剛體定點轉動的動力學方程，但是方程冗長而複雜，只有在對稱剛體的特殊情況下才方便處理。
動力學方程的積分
經過百餘年的研究，證實只在三種情況下方程組（3）、（4）可給出解析解，即：1、歐拉情況（1765），指剛體的質量分布可以任意，
，而外力矩為零，即定點位於剛體的重心。這時剛體作自由運動，其運動圖像相當於一個橢球在固定平面上作滑動的滾動。2、拉格朗日情況（1788），指剛體是對稱的，而重心在對稱軸上，
，其運動圖像是進動與章動的疊加。3、柯瓦列夫斯卡婭情況（1888），指一種特殊的對稱剛體，即
，而重心在赤道平面上，
，這時剛體的運動具有非周期性。對於這三種古典情況，可求得動力學方程對任意初始條件的通解，但有實際意義的往往不屬於這三種情況。此後人們尋求滿足某一特定初始條件的特解，並研究此特解代表的特定運動的穩定性。如果運動是穩定的，如無外力矩的剛體繞過定點某軸作永久轉動，即轉軸在空間的方位不變，轉動角速度不變的情況，實際上是可以實現的。陀螺儀器出現以後，由於陀螺高速自轉，因而有可能對定點轉動的動力學方程求近似解，出現了高速自轉下的陀螺近似理論。（見陀螺力學）
工程套用
工程中剛體的定點轉動多發生於繞相交軸轉動的場合，如研磨機、雷達天線、三軸模擬平台、機械臂等，可用動量矩定理或歐拉動力學方程建立運動方程並求解。陀螺的近似理論不僅能用於研究陀螺儀的工作原理、原理誤差及誤差補償問題，還可用於研究轉子系統中的陀螺效應。對於自由運動的拋射體、航空器、航海器、太空飛行器甚至天體，定點運動理論是研究它的繞質心和姿態運動的重要工具，如炮彈出膛後，為防止翻筋斗，使炮彈繞對稱軸高速自旋，用倒立的自旋陀螺的穩定性條件可確定炮彈自選角速度的下限，並據此設計膛線。人造地球衛星有一種自旋穩定衛星，通過自旋可在空間實現單軸定向；根據繞主軸永久轉動穩定性的理論，自旋軸應該是最大慣量軸或最小慣量軸。蘇聯發射的“衛星一號”和美國發射的“探險者一號”，卻在發射兩個小時候發生失穩現象，經過研究發現是衛星內部的能量耗散使衛星不能被認為是嚴格的剛體，由此而形成了自旋衛星設計中的“最大慣量原則”。由於歐拉動力學方程與描述細長彈性桿平衡的基爾霍夫方程一致，因此關於定點轉動的研究成果還在細長彈性桿的平衡以及分子生物學中DNA雙螺旋結構的幾何形狀及穩定性中得到了套用。
