機率密度函式

在數學中，連續型隨機變數的機率密度函式（在不至於混淆時可以簡稱為密度函式）是一個描述這個隨機變數的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函式。而隨機變數的取值落在某個區域之內的機率則為機率密度函式在這個區域上的積分。當機率密度函式存在的時候，累積分布函式是機率密度函式的積分。機率密度函式一般以小寫標記。

基本介紹

• 中文名：機率密度函式
• 外文名： probability density function
• 簡稱：密度函式
• 性質：這裡指的是一維連續隨機變數
• 常見定義：對於一維實隨機變數X
• 學科：數學

定義

對於一維實隨機變數X，設它的累積分布函式是,如果存在可測函式滿足：,那么X是一個連續型隨機變數，並且是它的機率密度函式。

常態分配的機率密度函式

連續型隨機變數的機率密度函式有如下性質：

如果機率密度函式fX(x)在一點x上連續，那么累積分布函式可導，並且它的導數：

由於隨機變數X的取值 只取決於機率密度函式的積分，所以機率密度函式在個別點上的取值並不會影響隨機變數的表現。更準確來說，如果一個函式和X的機率密度函式取值不同的點只有有限個、可數無限個或者相對於整個實數軸來說測度為0（是一個零測集），那么這個函式也可以是X的機率密度函式。

連續型的隨機變數取值在任意一點的機率都是0。作為推論，連續型隨機變數在區間上取值的機率與這個區間是開區間還是閉區間無關。要注意的是，機率P{x=a}=0，但{X=a}並不是不可能事件。

性質

這裡指的是一維連續隨機變數，多維連續變數也類似。

隨機數據的機率密度函式：表示瞬時幅值落在某指定範圍內的機率，因此是幅值的函式。它隨所取範圍的幅值而變化。

密度函式f(x) 具有下列性質：

① ；

② ；

③

例子

最簡單的機率密度函式是均勻分布的密度函式。對於一個取值在區間[a,b]上的均勻分布函式 ，它的機率密度函式：

連續型均勻分布的機率密度函式

也就是說，當x不在區間[a,b]上的時候，函式值等於0；而在區間[a,b]上的時候，函式值等於這個函式 。這個函式並不是完全的連續函式，但是是可積函式。

常態分配是重要的機率分布。它的機率密度函式是：

隨著參數μ和σ變化，機率分布也產生變化。

特徵函式

對機率密度函式作傅立葉變換可得特徵函式。

特徵函式與機率密度函式有一對一的關係。因此知道一個分布的特徵函式就等同於知道一個分布的機率密度函式。

套用

隨機變數X的n階矩是X的n次方的數學期望，即

X的方差為

更廣泛的說，設g為一個有界連續函式，那么隨機變數g(X)的數學期望為：