梯度(數學名詞)

梯度(數學名詞)

本詞條是多義詞,共2個義項
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梯度的本意是一個向量(矢量),表示某一函式在該點處的方嚮導數沿著該方向取得最大值,即函式在該點處沿著該方向(此梯度的方向)變化最快,變化率最大(為該梯度的模)。

基本介紹

  • 中文名:梯度
  • 外文名:gradient
  • 學科:微積分學
  • 適用範圍:數理科學
  • 相關概念:方嚮導數
  • 性質:向量
定義,推廣,套用,

定義

設二元函式
在平面區域D上具有一階連續偏導數,則對於每一個點P(x,y)都可定出一個向量
,該函式就稱為函式
在點P(x,y)的梯度,記作gradf(x,y)或
,即有:
gradf(x,y)=
=
其中
稱為(二維的)向量微分運算元或Nabla運算元,
是方向l上的單位向量,則
由於當方向l與梯度方向一致時,有
所以當l與梯度方向一致時,方嚮導數
有最大值,且最大值為梯度的模,即
因此說,函式在一點沿梯度方向的變化率最大,最大值為該梯度的

推廣

梯度的概念可以推廣到三元函式的情形。
設三元函式
在空間區域G內具有一階連續偏導數,點
,稱向量
為函式
在點P的梯度,記為
,即
=
=
其中
稱為(三維的)向量微分運算元或Nabla運算元,
同樣,該梯度方向與取得最大方嚮導數的方向一致,而它的模為方嚮導數的最大值。

套用

設體系中某處的物理參數(如溫度、速度、濃度等)為w,在與其垂直距離的dy處該參數為w+dw,則稱為該物理參數的梯度,也即該物理參數的變化率。如果參數為速度、濃度、溫度或空間,則分別稱為度梯度、濃度梯度溫度梯度空間梯度。其中溫度梯度在直角坐標系下的表達式如右圖。
溫度梯度的表達式溫度梯度的表達式
向量微積分中,標量場梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向,梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說,從歐幾里得空間RnR的函式的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上,梯度是雅可比矩陣的特殊情況。
在單變數的實值函式的情況,梯度只是導數,或者,對於一個線性函式,也就是線的斜率
梯度一詞有時用於斜度,也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被稱為梯度。

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