線性函式

在數學裡，線性函式是指那些線性的函式，但也常用作一次函式的別稱，儘管一次函式不一定是線性的（那些不經過原點的）。線型函式是一個比較恰當的同義詞。

基本介紹

• 中文名：線性函式
• 外文名：linear function
• 屬性：數學里線性的函式
• 性質：數學概念
• 套用：仿射變換

初等數學用法

在初級代數與解析幾何，線性函式是只擁有一個變數的一階多項式函式，又或者是常數函式。因為，採用直角坐標系，這些函式的圖象是直線，所以，這些函式是線性的。要注意的是，與x軸垂直的直線不是線性函式。（因為輸入值不對應唯一輸出值，所以它不符合函式的定義）

紅、藍直線斜率相同，紅、綠直線 y截距相同

線性函式可以表達為斜截式：

其中m是斜率且 ，而 是 在y軸上的截距，即函式圖象與 y軸相交點的 -坐標。改變斜率 會使直線更陡峭或平緩。改變 -截距 會將直線移上或移下。

右圖展示了三個線性函式的圖象：

紅色與藍色直線的斜率相同。 紅色與綠色直線的 -截距相同。

高等數學用法

線性變換：

在線性代數里，線性函式是一個線性映射。

設 V 和 W 是在相同域 K 上的向量空間。函式 f : V → W 被稱為是線性映射，如果對於 V 中任何兩個向量 a和 b與 K 中任何標量 k，滿足下列兩個條件：

非線性函式

即其維持向量加法與標量乘法。

如果W等同域K，也稱f是V上的一個線性函式。

例如，假若，我們用坐標向量 (Coordinate vector) 來表示x與f(x)，那么線性函式可以表達為

f(x)=M*x；其中，M是矩陣。

線性關係

兩個變數之間存在一次函式關係，就稱它們之間存在線性關係。

正比例關係是線性關係中的特例，反比例關係不是線性關係。

更通俗一點講，如果把這兩個變數分別作為點的橫坐標與縱坐標，其圖象是平面上的一條直線，則這兩個變數之間的關係就是線性關係。

在高等數學裡，線性函式是一個線性映射，是在兩個向量空間之間，維持向量加法與標量乘法的映射。

例如，假若，我們用坐標向量(coordinate vector來表示 與 。那么，線性函式可以表達為

其中， 是矩陣。

套用

仿射變換是指一個向量空間進行一次線性變換並接上一個平移，變換為另一個向量空間。

一個對向量 平移 ，與旋轉放大縮小 的仿射映射為

上式在齊次坐標上，等價於下面的式子

在分形的研究里，收縮平移仿射映射可以製造制具有自相似性的分形。

一個在兩個仿射空間之間的仿射變換，是在向量上呈現線性之坐標點的變換（即為空間中點與點之間的向量）。以符號表示的話， 使得 ，決定任一對點的線性變換：

或者

仿射變換表示

如上所示，仿射變換為兩函式的複合：平移及線性映射。普通向量代數用矩陣乘法呈現線性映射, 用向量加法表示平移。正式言之，於有限維度之例中，假如該線性映射被表示為一矩陣“A”，平移被表示為向量 ，一仿射映射 可被表示為