線性近似

在數學中，線性近似是指使用線性函式對一般函式進行近似處理的方法。線性近似就是用線性函式對普通函式進行近似。這個線性函式稱為仿射函式。

基本介紹

• 中文名：線性近似
• 外文名：linear approximation
• 所屬領域：數理科學
• 套用：數值分析；微積分
• 別名：線性逼近

定義

所謂線性近似，也叫線性逼近，主要作用是把一個複雜的非線性函式用一個簡單的線性函式來表示。

圖1.線性近似，切線近似

假設一般函式上存在點(a, f(a))，當x接近a時，可以使用函式在a點的切線作為函式的近似線。函式L(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)即稱為函式f在a點的線性近似或切線近似。

例如，有一個實數變數的可導函式f，根據n=1的泰勒公式，

其中 是餘數。捨去餘數就是線性近似：

當x無限接近於a的時候這個等式成立。

圖1的表示是f在點 (a,f(a)) 處的切線，因此這個過程也叫作切線近似。

我們也可以對以向量作為變數的向量函式作線性近似，這時在該點的導數用雅可比矩陣代替。例如，一個有實數變數的可導函式 ，可以用函式 在接近 的 點處的值來近似，

方程右側是在點處的平面切線。

在更具普遍意義的巴拿赫空間上，

其中 是函式 在 處的Fréchet 導數。

示例

線性近似的方法在尋找函式近似值時有很大作用：

例1.求 的值。

1) 設函式 ，問題化為求 的值，

2）可以得到

3）根據線性近似

4）結果 2.926 非常接近於實際值 2.924。

幾何意義

線性近似求解的是近似值，其幾何意義是在基點的切線近似於原函式的曲線。

圖2.線性近似的幾何意義——切線

以f(x)=lnx為例，根據公式，在x₀=1， ，曲線和切線如圖2所示：

在x₀=1點附近，曲線近似於直線，x越接近x₀，二者的近似度越高。在討論近似時，只有指定基點才有意義。這很容易理解，x越遠離x₀，曲線和直線的差距越大；同時，當基點不同時，切線的斜率也不同。

常用線性近似公式

x₀=0時，常用的線性近似值：

1）；

2)；

3)；

4)；

5)。