根與係數的關係

講述了根與係數的關係，分為偏相關係數，典型相關係數。具體為韋達定理。

基本介紹

• 中文名：根與係數的關係
• 別稱：韋達定理
• 表達式：X1+X2=-b/a     X1×X2=c/a
• 提出者：韋達
• 提出時間：16世紀
• 套用學科：數學等理科套用學科
• 適用領域範圍：方程論
• 適用領域範圍：代數學科

定律定義

根與係數的關係簡單相關係數： 又叫相關係數或線性相關係數。它一般用字母r 表示。它是用來度量定量變數間的線性相關關係。 復相關係數:又叫多重相關係數復相關是指因變數與多個自變數之間的相關關係。例如，某種商品的需求量與其價格水平、職工收入水平等現象之間呈現復相關係。

性質

偏相關係數：
又叫部分相關係數：部分相關係數反映校正其它變數後某一變數與另一變數的相關關係，校正的意思可以理解為假定其它變數都取值為均數。 偏相關係數的假設檢驗等同於偏回歸係數的t檢驗。復相關係數的假設檢驗等同於回歸方程的方差分析。
典型相關係數：是先對原來各組變數進行主成分分析，得到新的線性無關的綜合指標．再用兩組之間的綜合指標的直線相關係敷來研究原兩組變數間相關關係
可決係數是相關係數的平方。
意義：可決係數越大，自變數對因變數的解釋程度越高，自變數引起的變動占總變動的百分比高。觀察點在回歸直線附近越密集。

實驗驗證

當Δ=b^2-4ac≥0時,方程
ax^2+bx+c=0(a≠0)
有兩個實根,設為x1,x2.
由求根公式x=(-b±√Δ)/2a,不妨取
x1=(-b-√Δ)/2a,x2=(-b+√Δ)/2a,
則：x1+x2
=(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a
=-2b/2a
=-b/a,
x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a]
=[(-b)^2-Δ]/4a^2
=4ac/4a^2
=c/a.
綜上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.

發展簡史

有一次，荷蘭派到法國的一位使者告訴法國國王，比利時的數學家羅門提出了一個45次的方程向各國數學家挑戰。國王於是把這個問題交給韋達，韋達當即得出一正數解，回去後很快又得出了另外的22個正數解（他捨棄了另外的22個負數解）。訊息傳開，數學界為之震驚。同時，韋達也回敬了羅門一個問題，羅門一時不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出來。

韋達於1615年在著作《論方程的識別與訂正》中改進了三、四次方程的解法，還對n=2、3的情形，建立了方程根與係數之間的關係，現代稱之為韋達定理。

套用領域

韋達定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在中學數學教學和中考中有著廣泛的套用。可以將其套用歸納為：

①不解方程求方程的兩根和與兩根積；

②求對稱代數式的值；

③構造一元二次方程；

④求方程中待定係數的值；

⑤在平面幾何中的套用；

⑥在二次函式中的套用。

在數學上，根與係數的關係如下所述：

對於一元二次方程 （a 0）經常運用的是韋達定理，如果有實數根，設兩實數根為 , 則 ， （注意：a指二次項係數，b指一次項係數，c指常數，且a≠0）。

對二次項係數為1的一元二次方程，如果方程有根，那么兩根之和等於一次項係數的相反數，兩根之積等於常數項。

定律影響

韋達定理最重要的貢獻是對代數學的推進，它最早系統地引入代數符號，推進了方程論的發展，用字母代替未知數，指出了根與係數之間的關係。韋達定理為數學中的一元方程的研究奠定了基礎，對一元方程的套用和創造開拓了廣泛的發展空間。