回歸方程

原理

回歸方程（regression equation）是對變數之間統計關係進行定量描述的一種數學表達式。指具有相關的隨機變數和固定變數之間關係的方程。

回歸直線方程指在一組具有相關關係的變數的數據（x與y）間，一條最好地反映x與y之間的關係直線。

若在一組具有相關關係的變數的數據（x與Y）間，通過散點圖我們可觀察出所有數據點都分布在一條直線附近，這樣的直線可以畫出許多條，而我們希望其中的一條最好地反映x與Y之間的關係，即我們要找出一條直線，使這條直線“最貼近”已知的數據點。

因為模型中有殘差，並且殘差無法消除，所以就不能用二點確定一條直線的方法來得到方程，要保證幾乎所有的實測值聚集在一條回歸直線上，就需要它們的縱向距離的平方和到那個最好的擬合直線距離最小。

記此直線方程為（如右所示，記為①式）這裡在y的上方加記號“^”，是為了區分Y的實際值y，表示當x取值xi=1，2，……，6）時，Y相應的觀察值為yi，而直線上對應於xi的縱坐標是①式叫做Y對x的

回歸直線方程，相應的直線叫做回歸直線，b叫做回歸係數。要確定回歸直線方程①，只要確定a與回歸係數b。

回歸方程的有關量：e.隨機變數 ^b.斜率 ^a.截距 —x.x的數學期望 —y.y的數學期望 R.回歸方程的精確度。

回歸直線的求法

總離差不能用n個離差之和

來表示，通常是用離差的平方和，即作為總離差，並使之達到最小，這樣回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那一條，這種使“離差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法：

由於絕對值使得計算不變，在實際套用中人們更喜歡用：Q=（y1-bx1-a）²+（y2-bx2-a）²+······+（yn-bxn-a）²，這樣，問題就歸結於：當a，b取什麼值時Q最小，即到點直線y=bx+a的“整體距離”最小。

用最小二乘法求回歸直線方程中的a,b有下面的公式：

回歸方程的寫法：spss數據表中有非標準係數一欄，這其實就是回歸方程的係數。對應的變數就是和係數相乘。如果有常數項，就不用和變數值相乘。