李氏三角恆等式

李氏三角恆等式是銳角三角函式中一對重要公式，又稱為李善蘭銳角三角函式展開式。它解釋了各個三角函式之間的平方和冪的關係：tanα·cotα=1；sin^2α+cos^2α=1

基本介紹

• 中文名：李氏三角恆等式
• 外文名：Lee's acute triangle function expansion
• 別稱：李善蘭銳角三角函式展開式
• 表達式：tanα·cotα=1；sin^2α+cos^2α=1
• 提出者：李善蘭
• 提出時間：18世紀
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：幾何學
• 適用領域範圍：三角學

提出者簡介

李善蘭，原名李心蘭，字竟芳，號秋紉，別號壬叔。出生於1811年 1月22日，逝世於1882年12月9日，浙江海寧人，是中國近代著名的數學、天文學、力學和植物學家。

李善蘭像

基本關係式

（此公式又稱“李善蘭銳角三角函式展開式”）

公式一

tanα·cotα=1

公式二

這屬於同角三角函式間的基本關係式。

銳角三角形函式展開式

推論

平方關係

sin^2(α)+cos^2(α)=1

李善蘭銳角三角函式展開式的各對三角函式

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

積的關係

sinα=tanα*cosα

李氏三角恆等式的套用

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

倒數關係

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

提出方法

李善蘭在他所著的《方園闡幽》一書中，發明了尖錐術，具有解析幾何的啟蒙思想，得出了一些重要的積分公式，創立了二次平方根的冪級數展開式，各種三角函式，反三角函式和對數函式的冪級數展開式，這是李善蘭也是19世紀中國數學界最重大的成就。

李善蘭的尖錐術理論，如果用最通俗的語言來表述，就是他首先把一個自然數n用一個平尖錐的圖形來表示，如果這個數是一個平方數，就用一個立尖錐來表示，如果這個數是一個立方數就用一個三乘尖錐來表示，但是，在表示乘方數的時候，尖錐的上面就由平體變成了凹形，乘方越多，凹的就越厲害。 然後，李善蘭把這個尖錐體的乘方數xn用線段來表示，把這個尖錐體迭積成n乘的尖錐面。這種尖錐面由相互垂直的底線、高線和凹向的尖錐曲線組成。

李善蘭像

證明方法

【證明】

設α直角三角的一個內角，

所對的斜邊為c,對邊為a,鄰邊為b，則有：

sinα=a/c·cosα=b/c

所以有：sin^2α+cos^2α=(a/c)^2+(b/c)^2=(a^2+b^2)/c^2

因在直角三角形中有：c^2=a^2+b^2(勾股定理)=c^2/c^2=1

得證。