基本介紹
- 中文名：有理數乘方
- 外文名：Rational power
- 舉例讀法：2的2次冪
- 舉例：同底數冪法則
表示,同底數冪法則,正整數指數冪法則,指數為0冪法則,負整數指數冪法則,正分數指數冪法則,負分數指數冪法則,平方差,冪的乘方法則,積的乘方,同指數冪乘法,完全平方,立方和,立方差,多項式平方,二項式,速算,圖示,性質,例題,
表示
22、73也可以看做是乘方運算的結果，這時它們表示數，分別讀作“2的2次冪”、“7的3次冪”，其中2與7叫做底數（base）,2與3叫做指數（exponent）。
這種求n個相同因數a的積運算叫做乘方（power），乘方的結果叫做冪（power），a叫做底數（base number），n叫指數（exponent）。任何數的0次方都是1，例：3º=1（註：0º無意義）
同底數冪法則
同底數冪相乘除，原來的底數作底數，指數的和或差作指數。
推導：
設a^m*a^n中，m=2，n=4，那么
a^2*a^4
=（a*a）*(a*a*a*a)
=a*a*a*a*a*a
=a^6
=a^(2+4)
所以代入：a^m*a^n=a^(m+n)
用字母表示為：
a^m·a^n=a^(m+n) 或 a^m÷a^n=a^(m－n) （m、n均為自然數）
1）15^2×15^3； 2）3^2×3^4×3^8； 3）5×5^2×5^3×5^4×…×5^90
1）15^2×15^3=15^(2+3)=15^5
2）3^2×3^4×3^8=3^(2+4+8)=3^14
3）5×5^2×5^3×5^4×…×5^90=5^(1+2+3+…+90)=5^4095[1]
正整數指數冪法則
a^k=a*a*....*a（k個a），其中k∈N*（即k為正整數）
指數為0冪法則
a^0=1 ，其中a≠0 ，k∈N*
推導：
a^0
=a^(1-1)
=(a^1)/(a^1)
=a/a
=1
負整數指數冪法則
a^(-k)=1/(a^k) ，其中a≠0,k∈N*
推導：
a^(-k)
=a^(0-k)
=(a^0)/(a^k)
=1/(a^k)[2]
正分數指數冪法則
a^(m/n)=
，其中n≠0 ， m/n>0，m,n∈N*（即m,n為正整數）
負分數指數冪法則
a^[-(m/n)]=
，其中，a^m≠0（
≠0，a≠0），m/n>0，n≠0，m,n∈N*
推導：
a^[-(m/n)]
=a^(0-m/n)
=(a^0)/[a^(m/n)]
=1/[a^(m/n)]
=1/
=
分數指數冪時，當n=2k,k∈N*， 且a^m<0時，則該數在實數範圍內無意義
特別地，0的非正數指數冪沒有意義
平方差
兩數和乘兩數差等於它們的平方差。
用字母表示為：
（a+b）（a-b)=a^2-b^2
推導：
(a+b)(a-b)
=(a+b)a-(a+b)b
=(a^2+ab)-(b^2+ab)
=a^2-b^2[3]
冪的乘方法則
冪的乘方，底數不變，指數相乘。
用字母表示為：
（a^m）^n=a^(m×n)
冪的乘方
特別指出：a^m^n=a^(m^n)
積的乘方
積的乘方，先把積中的每一個因數分別乘方，再把所得的冪相乘。
用字母表示為：
（a×b）^n=a^n×b^n
這個積的乘方法則也適用於三個以上乘數積的乘方。如：
（a×b×c）^n=a^n×b^n×c^n
同指數冪乘法
同指數冪相乘，指數不變，底數相乘。
用字母表示為：
（a^n）*（b^n）=（ab）^n
完全平方
兩數和（或差）的平方，等於它們的平方的和加上（或者減去）它們的積的2倍。
用字母表示為：
（a+b）^2=a^2+2ab+b^2或（a－b）^2=a^2－2ab+b^2
我們一般把前者叫作完全平方公式，把後者叫作完全平方差公式。
立方和
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[4]
多項式平方
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
二項式
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…… …… ……
這就是著名的楊輝三角。
速算
有些較特殊的數的平方，掌握規律後，可以使計算速度加快，現介紹如下。
由n個1組成的數的平方
我們觀察下面的例子。
1^2=1
11^2=121
111^2=12321
1111^2=1234321
11111^2=123454321
111111^2=12345654321
……
由以上例子可以看出這樣一個規律；求由n個1組成的數的平方，先由1寫到n，再由n寫到1，即：
11…1（n個1）^2=1234…(n-1)n(n-1)…4321
注意：其中n只占一個數位，滿10應向前進位，當然，這樣的速算不宜位數過多。
由n個3組成的數的平方
我們仍觀察具體實例：
3^2=9
33^2=1089
333^2=110889
3333^2=11108889
33333^2=1111088889
由此可知：
33…3（n個3）^2 = 11…11【(n-1)個1】0 88…88【(n-1)個8】9
個位是5的數的平方
（10a+5）^2=（10a）^2+2×10a×5+5^2
=100a^2+100a+25
=100a×（a+1）+25
=a×（a+1）×100+25
由此可知：個位數字是5的數的平方，等於去掉個位數字後，所得的數與比這個數大1的數相乘的積，後面再寫上25。
圖示
(2^5=2*2*2*2*2)
一、目標預設
1、知識與技能
（1）在現實背景中，理解有理數乘方的意義，敘述有理數乘方的概念；
（2）能進行有理數的乘方運算。
2、過程與方法
變“冪”為“乘”是由轉化的思想把新問題（有理數乘方）轉化為舊知識（有理數的乘法）來解決。經歷有理數乘方的概念的推導過程，體驗乘方概念與有理數乘法的聯繫；
3、情感、態度與價值觀
通過觀察、類比、歸納得出正確的結論。發展綜合運用所學知識的能力。
二、教學重難點
1、重點：在理解有理數乘方意義的基礎上進行有理數的乘方運算。
2、難點：與所學知識進行銜接，處理帶各種符號的乘方運算。
三、教學準備
1、教具：多媒體
2、預習建議：
（1）乘方的定義。
（2）乘方的初步運算。
四、教學方法：
引導探索法，嘗試指導，充分體現學生的主體地位
五、教學設計思路：
教師給學生創設問題情境，鼓勵學生積極參與，注重學生在認知過程中的思維，通過學生討論、歸納得出的知識，比教師的單獨講解要記得牢，同時也培養學生歸納、總結的能力。然後通過一些練習來鞏固這些知識。
1、創設情境，引出課題
①聽音頻資料，通過《棋盤上的學問》一則故事，引入問題：64個二相乘怎么計算？吸引學生注意，為下文引入乘方的概念鋪墊。
師：到底國王傻不傻呢？大家先別急著下結論，等大家學完了本節課程，就能回答這個問題了。
②請大家看細胞分裂示意圖，由計算並用算式表示出第一次，第二次，第三次，第n次分裂後細胞的個數，引入乘方的概念。
師：有些時候，我們會遇到幾個相同因數相乘的式子，比如五個2相乘，我們要寫很長，這樣的式子有更簡單的表示方式嗎？
2、自主學習，講解定義
（1）請大家閱讀課本關於《有理數的乘方》這節課程的內容。（五分鐘）
（2）請大家在閱讀的同時，思考螢幕上的三個問題：（板書課題：有理數的乘方）
①什麼叫乘方？
求 個相同因數的積的運算叫乘方
②用字母怎么表示？讀作什麼？
③每個字母表示什麼？
分別請學生回答相關的問題，培養學生自主學習的能力。
註： ①乘方是一種和加減乘除一樣的一種運算；
②指數n要以小寫的形式寫於底數的右上角；
③了解乘方的意義，從冪轉為乘。
（3）了解乘方的指數，底數，冪的定義
乘方的結果叫做冪；在中，叫做底數，叫做指數。
明確了表示a的冪的這個式子的結構之後，做幾道口答題。看螢幕，用基礎題來調動學生參與討論回答的積極性，為後續學習熱身。
性質
正數的任何次冪都是正數，負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，0的任何正整數次冪都得0.
例題
某種細胞每過30分便由一個分裂成2個。經過5h，這種細胞由一個能分裂成多少個？
解答：1個細胞30min後分裂成2個，1h後分裂成2×2個，1.5h後分裂成2×2×2個……
5h後要分裂10次，分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1 024（個）
為了簡便，可將2×2×2×2×2×2×2×2×2×2記為21º。
