連續統

連續統是一個數學概念。當人們籠統地說：“在實數集裡實數可以連續變動”，也就可以說實數集是個連續統；更嚴格的描述需要使用序理論、拓撲學等數學工具。這裡的連續是相對於離散的概念而言的。在不討論精確的定義前，有時人們也會談到一個量可以在某範圍內連續取值，或者說該量的變化範圍是一個連續統。在數學上，連續統這一術語至少有兩種精確定義，但並不等價。另外，連續統一詞有時即指實數線或者實數集，這是較舊的叫法；見連續統假設。

基本介紹

• 中文名：連續統
• 外文名：continuum
• 性質：數學概念
• 數學工具：序理論、拓撲學等
• 學科：拓撲學

簡介

連續統指連續不斷的數集，原意是為了強調實數的連續性而給實數系的另一名稱，現在的含義更廣泛了，由於實數與直線上的點一一對應，直覺上直線是連續而不斷開點，因此，把實數系稱作連續統，由於區間內的點也有類似性質，故把區間也稱作連續統、三維連續統等稱呼，例如，平面是二維連續統，空間是三維連續統。

概念

連續統在數序中的定義：與區間(0，1)對等的集合就叫做連續統，對等就是找到一個映射，使得他們之間的元素滿足一一映射。

有序集

在集合論中，連續統是一個擁有多於一個元素的線性序集，而且其序滿足如下性質（具此性質的序稱為“稠密無洞”的）：

稠密：在任意兩個元素之間存在第三個元素 ；

無洞：有上界的非空子集一定有上確界 實數集即為連續統的例子；實際上它是連續統的原型。

以下是連續統的幾個例子：

序結構與實數集同構（序同構）的集合，例如實數集裡的任何開區間 擴展的實數軸，以及序同構於它的，比如單位區間。 實的半開半閉區間如 (0,1] 等，以及其序同構。 拓撲學中有一種比實數線還要長的“長線”（en:long_line） 非標準分析中的超實數集。

連續統的基數

康托的連續統假設有時會被敘述成“在連續統的基數和自然數的基數之間不存在任何基數”，這裡的“連續統”指的是實數集；連續統的基數即特指實數集的基數。

拓撲學

在點集拓撲學中，一個連續統是指任何非空的緊緻連通度量空間（或者非空的緊緻連通豪斯多夫空間，但較少用）。

按照以上定義，一個單點集也是連續統。擁有多於一個點的連續統稱為非退化的連續統；由連通性和豪斯多夫性質，可知它一定含有無窮個點。連續統理論即是拓撲學中研究拓撲連續統的分支。其中一個有趣的問題是不可分解連續統的存在性：

是否存在這樣的連續統 C ，它可以寫成兩個連續統的並集，且這兩個都是 C 的真子集？ 答案是肯定的，第一個例子由魯伊茲·布勞威爾給出。