數形結合

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯繫的，這個聯繫稱之為數形結合，或形數結合。作為一種數學思想方法，數形結合的套用大致又可分為兩種情形：或者藉助於數的精確性來闡明形的某些屬性，或者藉助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關係，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”。“以數解形”就是有些圖形太過於簡單，直接觀察卻看不出什麼規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。

基本介紹

• 中文名：數形結合
• 外文名：The combination of number and shape
• 用於：數學
• 類別：數學思想

基本思想

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關係。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現最佳化解題途徑的目的。

實際用途

數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一，套用數形結合的思想，可以解決以下問題：

集合問題

在集合運算中常常藉助於數軸、Venn圖來處理集合的交、並、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。

函式問題

藉助於圖象研究函式的性質是一種常用的方法。函式圖象的幾何特徵與數量特徵緊密結合，體現了數形結合的特徵與方法。

方程與不等式

處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函式圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯繫相關函式，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。

三角函式

有關三角函式單調區間的確定或比較三角函式值的大小等問題，一般藉助於單位圓或三角函式圖象來處理，數形結合思想是處理三角函式問題的重要方法。

線性規劃

線性規劃問題是在約束條件下求目標函式的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現了數形結合思想的套用。

數列問題

數列是一種特殊的函式，數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關於正整數n的函式。用數形結合的思想研究數列問題是藉助函式的圖象進行直觀分析，從而把數列的有關問題轉化為函式的有關問題來解決。

解析幾何

解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中善於將數形結合的數學思想運用於對點、線、曲線的性質及其相互關係的研究中。

立體幾何

立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關係進行研究，可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數運算。

絕對值問題

畫數軸，根據絕對值的性質（一點到另一點的距離）得到一個範圍，從而解出絕對值。

分數套用

運用畫線段的方法來更簡便地了解題目意思，使思維更加清晰。

套用方法

套用要點

1. 數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助於把握數學問題的本質；另外，由於使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2. 所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關係，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數形結合，常與以下內容有關：（1）實數與數軸上的點的對應關係；（2）函式與圖象的對應關係；（3）曲線與方程的對應關係；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如複數、三角函式等；（5）所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。如等式 。

3. 縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”。

4. 數形結合的思想方法套用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函式的值域、最值問題中，在求複數和三角函式解題中，運用數形結思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免複雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖見數想圖，以開拓自己的思維視野。

5、數形結合思想的論文

數形結合思想簡而言之就是把數學中“數”和數學中“形”結合起來解決數學問題的一種數學思想。數形結合具體地說就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，通過“數”與“形”之間的對應和轉換來解決數學問題。在中學數學的解題中，主要有三種類型：以“數”化“形”、以“形”變“數”和“數”“形”結合。

套用類型

（1）以“數”化“形”

由於“數”和“形”是一種對應，有些數量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象，直觀的優點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把“數”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題。我們能夠從所給問題的情境中辨認出符合問題目標的某個熟悉的“模式”，這種模式是指數與形的一種特定關係或結構。這種把數量問題轉化為圖形問題，並通過對圖形的分析、推理最終解決數量問題的方法，就是圖形分析法。數量問題圖形化是數量問題轉化為圖形問題的條件，將數量問題轉化為圖形問題一般有三種途徑：套用平面幾何知識，套用立體幾何知識，套用解析幾何知識將數量問題轉化為圖形問題。解一個數學問題，一般來講都是首先對問題的結構進行分析，分解成已知是什麼（條件），要求得到的是什麼（目標），然後再把條件與目標相互比較，找出它們之間的內在聯繫。因此，對於“數”轉化為“形”這類問題，解決問題的基本思路： 明確題中所給的條件和所求的目標，從題中已知條件或結論出發，先觀察分析其是否相似（相同）於已學過的基本公式（定理）或圖形的表達式，再作出或構造出與之相適合的圖形，最後利用已經作出或構造出的圖形的性質、幾何意義等，聯繫所要求解（求證）的目標去解決問題。

（2）以“形”變“數”

雖然形有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須藉助代數的計算，特別是對於較複雜 的“形”，不但要正確的把圖形數位化，而且還要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把“形”正確表示成“數”的形式，進行分析計算。

解題的基本思路： 明確題中所給條件和所求的目標，分析已給出的條件和所求目標的特點和性質，理解條件或目標在圖形中的重要幾何意義，用已學過的知識正確的將題中用到的圖形的用代數式表達出來，再根據條件和結論的聯繫，利用相應的公式或定理等。

（3）“形”“數”互變

“形”“數”互變是指在有些數學問題中不僅僅是簡單的以“數”變“形”或以“形”變“數”而是需要“形”“數”互相變換，不但要想到由“形”的直觀變為“數”的嚴密還要由“數”的嚴密聯繫到“形”的直觀。解決這類問題往往需要從已知和結論同時出發，認真分析找出內在的“形”“數”互變。一般方法是看“形”思“數”、見“數”想“形”。實質就是以“數”化“形”、以“形”變“數”的結合。

數形結合思想是一種可使複雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數學思想方法。要想提高學生運用數形結合思想的能力，需要教師耐心細緻的引導學生學會聯繫數形結合思想、理解數形結合思想、運用數形結合思想、掌握數形結合思想。

中學數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程（組）、不等式（組）、函式等；一類是關於純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關於數形結合的知識，主要體現是解析幾何。

數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其套用大致可以分為兩種情形：或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯繫，即以形作為手段，數為目的，比如套用函式的圖像來直觀地說明函式的性質；或者是藉助於數的精確性和規範嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如套用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關係，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值範圍。