點到直線距離是連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，這條垂線段的長度。目標在於通過對點到直線距離公式的推導，提高學生對數形結合的認識，加深用“計算”來處理“圖形”的意識。
基本介紹
- 中文名：點到直線距離
- 外文名：Distance from a point to a line
- 主體：連線直線外一點與直線上各點
- 特點：垂線段最短
- 斜率：-A/B
公式整理,知識與技能目標：,證明方法,
公式整理
一、總公式：
設直線 L 的方程為Ax+By+C=0，點 P 的坐標為（Xo，Yo），則點 P 到直線 L 的距離為：
考慮點(x0,y0,z0)與空間直線x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l2+m2+n2)
d=√((x1-x0)2+(y1-y0)2+(z1-z0)2-s2)
二、引申公式：
公式①：設直線l1的方程為
；直線l2的方程為
則 2條平行線之間的間距：
公式②：設直線l1的方程為
；直線l2的方程為
則 2條直線的夾角
知識與技能目標：
(1)理解點到直線距離公式的推導過程，並且會使用公式求出定點到定直線的距離；
(2)了解兩條平行直線的距離公式，並能推導
的平方
過程與方法目標：
(1)通過對點到直線距離公式的推導，提高學生對數形結合的認識，加深用“計算”來處理“圖形”的意識；
(2)把兩條平行直線的距離關係轉化為點到直線距離。
證明方法
PQ^2=[(B^2x0-ABy0-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2
+[(A^2y0-ABx0-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2
=[(-A^2x0-ABy0-AC)/(A^2+B^2)]^2
+[(-ABx0-B^2y0-BC)/(A^2+B^2)]^2
=[A(-By0-C-Ax0)/(A^2+B^2)]^2
+[B(-Ax0-C-By0)/(A^2+B^2)]^2
=A^2(Ax0+By0+C)^2/(A^2+B^2)^2
+B^2(Ax0+By0+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(A^2+B^2)(Ax0+By0+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(Ax0+By0+C)^2/(A^2+B^2)
所以PQ=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)，公式得證。
二、函式法
證：點P到直線上任意一點的距離的最小值就是點P到直線的距離。在上取任意點用兩點的距離公式有，為了利用條件上式變形一下，配湊係數處理得：
若且唯若時取等號所以最小值就是
三、不等式法
證：點P到直線上任意一點Q的距離的最小值就是點P到直線的距離。由柯西不等式：
若且唯若時取等號所以最小值就是
四、轉化法
證：設直線的傾斜角為過點P作PM∥軸交於M顯然所以
易得∠MPQ=（圖2）或∠MPQ=（圖3）
在兩種情況下都有所以
五、三角形法
證：P作PM∥軸交於M，過點P作PN∥軸交於N（圖4）
由解法三知；同理得
在Rt△MPN中，PQ是斜邊上的高
六、參數方程法
證：過點作直線交直線於點Q。(如圖1)
由直線參數方程的幾何意義知，將代入得
整理後得
當時，我們討論與的傾斜角的關係：
當為銳角時（）有（圖2）
當為鈍角時（）有（圖3）
得到的結果和上述形式相同，將此結果代入①得
七、向量法
證：如圖五，設直線的一個法向量，Q直線上任意一點，則。從而點P到直線的距離為：
