數形結合法

數與形是數學中的兩個最古老,也是最基本的研究對象,它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分,數與形是有聯繫的,這個聯繫稱之為數形結合,或形數結合。作為一種數學思想方法,數形結合的套用大致又可分為兩種情形:或者藉助於數的精確性來闡明形的某些屬性,或者藉助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關係,即數形結合包括兩個方面:第一種情形是“以數解形”,而第二種情形是“以形助數”。“以數解形”就是有些圖形太過於簡單,直接觀察卻看不出什麼規律來,這時就需要給圖形賦值,如邊長、角度等。

基本介紹

  • 中文名:數形結合法
  • 領域:數學
基本概念,實際套用,

基本概念

數與形是數學中的兩個最古老,也是最基本的研究對象,它們在一定條件下可以相互轉化。
中學數學研究的對象可分為兩大部分,一部分是數,一部分是形,但數與形是有聯繫的,這個聯繫稱之為數形結合,或形數結合。我國著名數學家華羅庚曾說過:“數形結合百般好,隔裂分家萬事非。“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為,數形結合,主要指的是數與形之間的一一對應關係。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來,通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合,可以使複雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到最佳化解題途徑的目的。
作為一種數學思想方法,數形結合的套用大致又可分為兩種情形:或者藉助於數的精確性來闡明形的某些屬性,或者藉助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關係,即數形結合包括兩個方面:第一種情形是“以數解形”,而第二種情形是“以形助數”。“以數解形”就是有些圖形太過於簡單,直接觀察卻看不出什麼規律來,這時就需要給圖形賦值,如邊長、角度等等。

實際套用

數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一,套用數形結合的思想,可以解決以下問題:
一、解決集合問題:在集合運算中常常藉助於數軸、Venn圖來處理集合的交、並、補等運算,從而使問題得以簡化,使運算快捷明了。
二、解決函式問題:藉助於圖象研究函式的性質是一種常用的方法。函式圖象的幾何特徵與數量特徵緊密結合,體現了數形結合的特徵與方法。
三、解決方程與不等式的問題:處理方程問題時,把方程的根的問題看作兩個函式圖象的交點問題;處理不等式時,從題目的條件與結論出發,聯繫相關函式,著重分析其幾何意義,從圖形上找出解題的思路。
四、解決三角函式問題:有關三角函式單調區間的確定或比較三角函式值的大小等問題,一般藉助於單位圓或三角函式圖象來處理,數形結合思想是處理三角函式問題的重要方法。
五、解決線性規劃問題:線性規劃問題是在約束條件下求目標函式的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現了數形結合思想的套用。
六、解決數列問題:數列是一種特殊的函式,數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關於正整數n的函式。用數形結合的思想研究數列問題是藉助函式的圖象進行直觀分析,從而把數列的有關問題轉化為函式的有關問題來解決。
七、解決解析幾何問題:解析幾何的基本思想就是數形結合,在解題中善於將數形結合的數學思想運用於對點、線、曲線的性質及其相互關係的研究中。
八、解決立體幾何問題:立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關係進行研究,可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數運算。

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